最长公共子序列（LCS）

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXLEN 100

void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])
{
    int i, j;
    for (i = 0; i <= m; i++)
        c[i][0] = 0;
    for (j = 1; j <= n; j++)
        c[0][j] = 0;
    for (i = 1; i <= m; i++)
    {
        for (j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (x[i - 1] == y[j - 1])
            {
                c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
                b[i][j] = 0;
            }
            else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1])
            {
                c[i][j] = c[i - 1][j];
                b[i][j] = 1;
            }
            else
            {
                c[i][j] = c[i][j - 1];
                b[i][j] = -1;
            }
        }
    }
}

void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j)
{
    if (i == 0 || j == 0)
        return;
    if (b[i][j] == 0)
    {
        PrintLCS(b, x, i - 1, j - 1);
        printf("%c ", x[i - 1]);
    }
    else if (b[i][j] == 1)
        PrintLCS(b, x, i - 1, j);
    else
        PrintLCS(b, x, i, j - 1);
}

int main(int argc, char **argv)
{
    char x[MAXLEN] = { "ABCBDAB" };
    char y[MAXLEN] = { "BDCABA" };
    int b[MAXLEN][MAXLEN];
    int c[MAXLEN][MAXLEN];
    int m, n;

    m = strlen(x);
    n = strlen(y);

    LCSLength(x, y, m, n, c, b);
    PrintLCS(b, x, m, n);

    return 0;
}

/**
 * 第一步：论证是否是动态规划问题
 * 首先要证明最长公共子序列问题是动态规划问题,即符合动态规划算法的两个特点:最优子结构和重叠子问题
 * 最优子结构:
 * 记:Xi=﹤x1...xi﹥即X序列的前i个字符 (1≤i≤m)（前缀）        Yj=﹤y1...yj﹥即Y序列的前j个字符 (1≤j≤n)（前缀）
 * 假定Z=﹤z1...zk﹥∈LCS(X , Y)。
 * 若xm=yn（最后一个字符相同），则问题化归成求Xm-1与Yn-1的LCS（LCS(X , Y)的长度等于LCS(Xm-1 , Yn-1)的长度加1）。
 * 若xm≠yn，则问题化归成求Xm-1与Y的LCS及X与Yn-1的LCS。LCS(X , Y)的长度为：max{LCS(Xm-1 , Y)的长度, LCS(X , Yn-1)的长度}。
 * 由于上述当xm≠yn的情况中，求LCS(Xm-1 , Y)的长度与LCS(X , Yn-1)的长度，这两个问题不是相互独立的：两者都需要求LCS(Xm-1，Yn-1)的长度。
 * 另外两个序列的LCS中包含了两个序列的前缀的LCS，故问题具有最优子结构性质。
 * 重叠子问题：
 * 在计算X和Y的最长公共子序列时，可能要计算出X和Yn-1及Xm-1和Y的最长公共子序列，
 * 而这两个子问题都包含一个公共子问题，即计算Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，因此最长公共子序列问题具有子问题重叠性质。
 *
 * 第二步：建立递归式
 * 用c[i][j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。其中Xi=<x1, x2, …, xi>，Yj=<y1, y2, …, yj>。建立递归关系如下：
 *            0                 if i=0||j=0
 * c[i][j]=   c[i-1][j-1]+1     if i,j>0&&x[i]==y[j]
 *            max(c[i][j-1],c[i-1][j]) if i,j>0&&x[i]!=y[j];
 */
public class LCS {


    /**第三步：计算最优值
     * 计算最长公共子序列长度的动态规划算法LCS_LENGTH(X,Y)以序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>作为输入。
     * 输出两个数组c[0..m ,0..n]和b[1..m ,1..n]。其中c[i,j]存储Xi与Yj的最长公共子序列的长度，b[i,j]记录指示c[i,j]的值是由哪一个子问题的解达到的，
     * 这在构造最长公共子序列时要用到。最后，X和Y的最长公共子序列的长度记录于c[m,n]中。
     * 在这里可以将数组b省去。事实上，数组元素c[i,j]的值仅由c[i-1,j-1]，c[i-1,j]和c[i,j-1]三个值之一确定，而数组元素b[i,j]也只是用来指示c[i,j]究竟由哪个值确定。
     * 因此，在算法LCS中，我们可以不借助于数组b而借助于数组c本身临时判断c[i,j]的值是由c[i-1,j-1]，c[i-1,j]和c[i,j-1]中哪一个数值元素所确定，代价是Ο(1)时间。
     * @param x
     * @param y
     * @return
     */
    public int[][] lcsLength(char x[],char y[]){
        int m = x.length;
        int n = y.length;
        int [][]c = new int[m+1][n+1];
        for(int i = 0;i<m+1;i++)
            c[i][0]=0;
        for(int j = 0;j<n+1;j++)
            c[0][j]=0;
        for(int i = 1;i<=m;i++){
            for(int j = 1;j<=n;j++){
                //i,j从1开始，所以下面用i-1和j-1使得可以从数组0元素开始
                if(x[i-1]==y[j-1]){
                    c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
                }else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]){
                    c[i][j]=c[i-1][j];
                }else{
                    c[i][j]=c[i][j-1];
                }
            }
        }
        return c;
    }
    /**第四步：构造最长公共子序列
     * lcs函数用来构造最长公共子序列,它使用在计算最优值中得到的c数组可以快速的
     * 构造序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的最长公共子序列。
     * @param c
     * @param x
     * @param i
     * @param j
     */
    public void lcs(int c[][],char x[],int i,int j){
        if(i==0||j==0)return;
        if(c[i][j]==(c[i-1][j-1]+1)){
            lcs(c,x,i-1,j-1);
            //注意c的长度要比x大1
            System.out.println(x[i-1]);
        }else if(c[i][j]==c[i-1][j]){
            lcs(c,x,i-1,j);
        }else{
            lcs(c,x,i,j-1);
        }
    }
    //测试
    public static void main(String args[]){
        char x[]={‘A‘,‘B‘,‘C‘,‘B‘,‘D‘,‘A‘,‘B‘};
        char y[]={‘B‘,‘D‘,‘C‘,‘A‘,‘B‘,‘A‘};
        LCS lcs = new LCS();
        int [][]c = lcs.lcsLength(x, y);
        lcs.lcs(c, x, x.length, y.length);
    }
}