扩展欧几里得

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	static long x, y;
	
	public static long exgcd(long a, long b)
	{
		if (b == 0)
		{
			x = 1;
			y = 0;
			return a;
		}
		long r = exgcd(b, a % b);
		long t = x;
		x = y;
		y = t - a / b * y;
		return r;
	}

欧几里得算法求最大公约数,gcd(b, b % a) = gcd(a, b);

求解方程ax + by = gcd(a, b);

则ax + by = gcd(a, b) = gcd(b, a % b) = bx‘ + (a % b)y‘;

又a % b = a - a / b * b;

则化简得ax + by = ay‘ + b(x‘ - a / b * y‘);

由恒等关系得x = y‘, y  = (x‘ - a / b * y‘)

可以得出上面的递归代码。

当等式右边不是gcd(a, b)时,所得的x, y 需要 x *= (c / gcd(a, b)), y *= (c  / gcd(a, b)), 当c不是gcd(a, b)的整数倍时无解。

当我们得出方程的一个特解时,ax0 + by0 = c,假设有另一解x1,y1,则ax1 + by1 = ax0 + by0( = c),由于c % gcd(a, b) = 0则

a(x1 - x0) = b(y0 - y1)可以化为 a‘(x1 - x0) = b‘(y0 - y1), a‘ = a / gcd(a, b), b‘ = b / gcd(a, b);

由于a‘与b‘互质,则(x1 - x0)为b‘的整数倍,等式可以写为a‘ * kb‘ = b‘(y0 - y1) (b‘ != 0) =>y1 = y0 - ka‘ 同理 x1 = x0 + kb‘;

这样我们可以写出等式的通解。

x1 = x0 + kb‘, y1 = y0 - ka‘;

当求x的最小正整数解时x = (x % b‘ + b‘) % b‘

题目：

hdu1222 hud1576 hdu2669

poj1061 poj2142 poj2891(中国剩余定理)

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原文地址：http://blog.csdn.net/u011676717/article/details/38356301