Last non-zero Digit in N!

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1066

首先引用下leemars的报告：

这道题要求N!的最后一个非0数字是多少，如果用一般作法，先统计2和5的个数，然
后补乘2，得到的将是TLE。所以还需要再做简化：

为了把0去掉，我们把所有的因数2和5都提出来，放到最后再处理。N!中的N个相乘的
数可以分成两堆：奇数和偶数。偶数相乘可以写成(2^M)*(M!)，M=N DIV 2。M!可以
递归处理，因此现在只需讨论奇数相乘。考虑1*3*5*7*9*11*13*15*17* ... *N(如果
N为偶数则是N-1)，这里面是5的倍数的有5，15，25，35，... ，可以其中的5提出来
，变成(5^P)*(1*3*5*7*9* ... )，后面括号中共P项，P=(N DIV 5+1) DIV 2，而后
面的括号又可以继续提5出来，递归处理。现在剩下的数是1 * 3 * 7 * 9 * 11 * 13
* 17 * 19 * ... 。这些数我们只需要他们的个位数，因为(1 * 3 * 9 * 11 * 13
* ... ) MOD 10 = (1 * 3 * 7 * 9 * 1 * 3 * ... ) MOD 10。我们列出余数表，
1 3 1 9 9 7 9 1 1 3 1 9 9 7 9 ……。我们发现每八项MOD 10的结果是一个循环。
算出奇数的结果后，我们再回头看统计了多少个2和5需要乘入。把2和5配对完都是N
!后面的0，看剩下的2有几个。如果有剩下的2，考虑2^N的个位数又是2 4 8 6 2 4
8 6 ……每四项一个循环，找出这个个位数后，和前面的结果相乘，再取个位数就是
答案。由于我们完全把2和5的因素另外处理，所以在所有的乘法中，都只需要计算个位数乘法，并且只保留个位数的结果。

但让我很惊异的是：为什么我提交总是WA？后来我才知道，原因是这道题的N相当大
！达到了10^100！要用大数来处理！GPC四项编译开关全关的，自然查不出来！而且
上面这个算法换成大数后会很麻烦。还有什么别的好方法吗?

答案是有的。我们设F(N)表示N!的尾数。

先考虑简单的。考虑某一个N!(N < 10)，我们先将所有5的倍数提出来，用1代替原来
5的倍数的位置。由于5的倍数全被提走了，所以这样就不会出现尾数0了。我们先把
0..9的阶乘的尾数列出来（注意，5的倍数的位置上是1），可以得到table[0..9] =
(1, 1, 2, 6, 4, 4, 4, 8, 4, 6)。对于N < 5，直接输出table[N]即可；对于N >
= 5，由于提出了一个5，因此需要一个2与之配成10，即将尾数除以2。注意到除了0
!和1!，阶乘的最后一个非零数字必为偶数，所以有一个很特别的除法规律：2 / 2
= 6，4 / 2 = 2，6 / 2 = 8，8 / 2 =　4。比较特殊的就是2 / 2 = 12 / 2 = 6，
6 / 2 = 16 / 2 = 8。这样我们就可以得到如下式子：
代码:

      table[N]
F(N) = ------------ (0 <= N < 10)
      2^([N/5])

再考虑复杂的。考虑某一个N!(N >= 10)，我们先将所有5的倍数提出来，用1代替原
来5的倍数的位置。由于5的倍数全被提走了，所以这样就不会出现尾数0了。我们观
察一下剩下的数的乘积的尾数，通过table表，我们发现这10个数的乘积的尾数是6，
6 * 6的尾数还是6，因此我们将剩下的数每10个分成一组，则剩下的数的乘积的尾数
只与最后一组的情况有关，即与N的最后一位数字有关。由于我们把5的倍数提出来了
，N!中一次可以提出[N/5]个5的倍数，有多少个5，就需要有多少个2与之配成10，所
以有多少个5，最后就要除以多少个2。注意到除2的结果变化是4个一循环，因此如果
有A个5，只需要除(A MOD 4)次2就可以了。A MOD 4只与A的最后两位数有关，很好求
算。剩下的5的倍数，由于5已经全部处理掉了，就变成[N/5]!。于是，我们可以得到
一个递归关系：
代码:

      F([N/5]) * table[N的尾数] * 6
F(N) = ----------------------------------- (N > 10)
          2^([N/5] MOD 4)

这样我们就得到了一个O(log5(N))的算法，整除5可以用高精度加法做，乘2再除10即
可。整个算法相当巧妙，写起来也比较轻松。

因为 2^N 是以4为循环节的

而且table[N]是以10为循环节的

所以从10开始

     F([N/5]) * table[N的尾数] * 6
F(N) = ----------------------------------- (N > 10)
          2^([N/5] MOD 4)

右边的式子除了F[n/5]外 是以20为循环节的

写出循环的末尾数字mod[20]={1,1,2,6,4,2,2,4,2,8,4,4,8,4,6,8,8,6,8,2}

整体思路解决了

然后就开始编程序喽！

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int mod[20]={1,1,2,6,4,2,2,4,2,8,4,4,8,4,6,8,8,6,8,2};
char n[1000];
int a[1000];
int main()
{
 int i,c,t,len;
    while(scanf("%s",n)!=EOF)
 {
  t=1;
  len=strlen(n); 
  for(i=0;i<len;i++)
   a[i]=n[len-1-i]-‘0‘;
  while(len)
  {
   len-=!a[len-1];
   t=t*mod[a[1]%2*10+a[0]]%10;  
   for(c=0,i=len-1;i>=0;i--)      
    c=c*10+a[i],a[i]=c/5,c%=5;
  }
  printf("%d\n",t);
 }
 return 0;
}

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