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首先我按着我的理解说一下它为什么是卡特兰数，首先卡特兰数有一个很典型的应用就是求1~N个自然数出栈情况的种类数。而这里正好就对应了这种情况。我们要满足题目中给的条件，数字应该是从小到大放置的，1肯定在左上角，所以1入栈，这时候我们放2，如果我们把2放在了1的下面就代表了1出栈，把2放在上面就代表了2也进栈（可以看一下hint中第二组样例提示），以此类推，这样去放数，正好就对应了上面一行入栈，下面一行出栈的情况，一共n行，对应上限为n的卡特兰数。
需要注意的地方就是在使用卡特兰数递推式的时候，除法是不遵循同余膜定理的，所以需要用到乘法逆元，设我们要除的数为n，取的膜为mod，那么n的乘法逆元就是，当n与mod互质的时候，通过欧几里得定理n*x + y*mod = gcd(n,m)得到x，将x处理为（x%mod + mod）% mod的形式，就是我们要的乘法逆元。
代码如下：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; #define maxn 1000010 #define mod 1000000007 #define LL long long LL ktl[maxn],x,y; LL exgcd(LL a,LL b) { if(b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } LL gcd = exgcd(b,a%b); LL tmp; tmp = x; x = y; y = tmp - a/b * y; return gcd; } LL yiyuan(int n) { LL gcd = exgcd(n,mod); if(gcd == 1) return (x%mod + mod) % mod; } void init() { memset(ktl,0,sizeof(ktl)); ktl[1] = 1; for(int i = 2; i <= maxn-10; i++) { ktl[i] = (ktl[i-1]*(4*i-2)%mod * yiyuan(i+1)) % mod; } } int main() { int t,n,ca = 0; init(); scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%d",&n); printf("Case #%d:\n",++ca); printf("%I64d\n",ktl[n]); } return 0; }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/jifahu/p/5572308.html
