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http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=396
连续从1开始编号的球,按照顺寻一个个放在n个柱子上,\(i\)放在\(j\)上面的必要条件是\(i+j\)是一个完全平方数.问做多能放到几号球.
cogs是简化版,我在网上找了个完整版的测试数据,要求输出方案...
求最大放几号球不方便,我们考虑枚举最大的球号,计算最少需要多少柱子.
我们对于满足\(j<i\)且\(i+j\)是一个完全平方数的\(i,j\),从\(j\)向\(i\)连一条边.那么我们要用几条路径,将全部点都连成几串.这个路径就相当于是柱子啦.所以这就是一个求最小路径覆盖的问题.
注意!!!是最小路径覆盖!不是最小边覆盖!!!
我们把每个点\(i\)拆成\(i\)和\(i‘\),建立二分图,如果\(i,j\)满足条件,就从\(j\)向\(i‘\)连一条边.
对于一个路径覆盖中的一条路径,除了路径末端的那个点,也就是一个柱子最下面的那个球,其他点都有一个后继,在二分图中我们让这些点和它们的后继匹配.
这样的话,由于路径数=路径末端点的个数=点的总数-非末端点的个数=点的总数-二分图中的匹配数,所以我们做一下二分图匹配就可以了.
由于随着球号的增大,最少需要的柱子数量是单调不降的,所以可以二分.但是二分的话每次都要重新建图跑最大流,如果顺次枚举的话,每次只需要加一些边,然后在原来的残量网络中继续跑就OK了.
至于输出方案,最后跑一遍最大球号对应的最大流,然后在二分图的右侧找容量是1的边(从左边流过来1的流量,那么右边回去的容量就会+1),把每个球上面的球号记下来,然后输出的时候从1开始,只要当前这个球还没有输出,就从这个球开始向上一直输出.
注意:
1.虽然答案最大是1600,但是完全平方数可能不止这么大,例如:\(1000+1500=2500=500^2\).
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 const int maxn=1600+5,opposite=1600,maxm=1000000+5,INF=0x3fffffff; 5 int n,cnt=1,s,t,max_flow,ans; 6 int head[maxn<<1],q[maxn<<1],lv[maxn<<1],itr[maxn<<1],match[maxn]; 7 bool issquare[maxn<<1],vis[maxn]; 8 struct edge{ 9 int to,cap,next; 10 edge(){} 11 edge(int to,int cap,int next):to(to),cap(cap),next(next){} 12 }g[maxm]; 13 void add_edge(int u,int v,int cap){ 14 g[++cnt]=edge(v,cap,head[u]); head[u]=cnt; 15 g[++cnt]=edge(u,0,head[v]); head[v]=cnt; 16 } 17 void bfs(){ 18 int front=0,tail=1; 19 q[front]=s; 20 memset(lv,-1,sizeof lv); lv[s]=0; 21 while(front<tail){ 22 int u=q[front++]; 23 for(int i=head[u];i;i=g[i].next){ 24 int v=g[i].to; 25 if(lv[v]<0&&g[i].cap>0){ 26 lv[v]=lv[u]+1; 27 q[tail++]=v; 28 } 29 } 30 } 31 } 32 int dfs(int u,int f){ 33 if(u==t) return f; 34 for(int &i=itr[u];i;i=g[i].next){ 35 int v=g[i].to; 36 if(g[i].cap>0&&lv[u]<lv[v]){ 37 int d=dfs(v,min(g[i].cap,f)); 38 if(d>0){ 39 g[i].cap-=d; 40 g[i^1].cap+=d; 41 return d; 42 } 43 } 44 } 45 return 0; 46 } 47 void Dinic(){ 48 int flow=0,f; 49 for(bfs();lv[t]>0;bfs()){ 50 for(int i=s;i<=t;i++) itr[i]=head[i]; 51 while((f=dfs(s,INF))>0) flow+=f; 52 } 53 max_flow+=flow; 54 } 55 void solve(){ 56 max_flow=0; 57 for(int i=1;;i++){ 58 ans=i-1; 59 add_edge(s,i,1); 60 add_edge(i+opposite,t,1); 61 for(int j=1;j<i;j++)if(issquare[i+j]) add_edge(j,i+opposite,1); 62 Dinic(); 63 if(i-max_flow>n) break; 64 } 65 memset(head,0,sizeof head); cnt=1; max_flow=0; 66 for(int i=1;i<=ans;i++){ 67 add_edge(s,i,1); 68 add_edge(i+opposite,t,1); 69 for(int j=1;j<i;j++)if(issquare[i+j]) add_edge(j,i+opposite,1); 70 } 71 Dinic(); 72 } 73 void print(){ 74 int p; 75 printf("%d\n",ans); 76 for(int i=opposite+1;i<=ans+opposite;i++)for(int j=head[i];j;j=g[j].next)if(g[j].cap==1){ 77 match[g[j].to]=i-opposite; 78 break; 79 } 80 for(int i=1;i<=ans;i++)if(!vis[i]){ 81 p=0; 82 for(int j=i;j;j=match[j]){ 83 printf("%d ",j); 84 vis[j]=true; 85 } 86 printf("\n"); 87 } 88 } 89 void init(){ 90 scanf("%d",&n); 91 s=0; t=3200+1; 92 for(int i=1;i*i<=3200;i++) issquare[i*i]=true; 93 } 94 int main(){ 95 init(); 96 solve(); 97 print(); 98 return 0; 99 }
算法实现题 8-4 魔术球问题(习题 8-14)
«问题描述:
假设有 n 根柱子,现要按下述规则在这 n 根柱子中依次放入编号为 1,2,3,1⁄4的球。
(1)每次只能在某根柱子的最上面放球。
(2)在同一根柱子中,任何 2 个相邻球的编号之和为完全平方数。
试设计一个算法,计算出在 n 根柱子上最多能放多少个球。例如,在 4 根柱子上最多可
放 11 个球。
«编程任务:
对于给定的 n,计算在 n 根柱子上最多能放多少个球。
«数据输入:
由文件 input.txt 提供输入数据。文件第 1 行有 1 个正整数 n,表示柱子数。
«结果输出:
程序运行结束时,将 n 根柱子上最多能放的球数以及相应的放置方案输出到文件
output.txt 中。文件的第一行是球数。接下来的 n 行,每行是一根柱子上的球的编号。
输入文件示例
input.txt
4
输出文件示例
output.txt
11
1 8
2 7 9
3 6 10
4 5 11
cogs_396_魔术球问题_(最小路径覆盖+二分图匹配,网络流24题#4)
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原文地址：http://www.cnblogs.com/Sunnie69/p/5576240.html
