线段树入门理解

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    在复习算法至分治法时，书本上主要介绍了合并排序和快速排序，较为简单。特拓展简单学习一个应用了分治法的算法结构——线段树。

    acm刷题时遇到许多连续区间的动态查询问题，例如求取某一区间上元素之和、求取某一区间上元素的最大值，此时如果使用一般的方法求解会使得时间超出要求。此时需要使用到线段树，其主要用于高效解决连续区间的动态查询问题。

    线段树，类似区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(lgN)，从而大大减少耗时。

    线段树的基本性质如下：父亲的区间是[a,b],(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]，线段树需要的空间为数组大小的四倍。

    以1到10的区间举例，构造的线段树如下：

    而算法构造基础的线段树主要包括Build（建树函数）、update（更新函数）和query（查询区间和函数）。

Build函数：

void Build(int l, int r, int step)  //建树,step代表树节点的编号(以下均是)
{
    tree[step].left = l;    //赋值
    tree[step].right = r;
    if(l ==r)    //l == r时说明伸展到叶子节点，返回
        return;
    int mid = (l+ r) >> 1;   //二分建树
    Build(l,mid, step<<1);        //递归左子树
    Build(mid+1,r, (step<<1)+1);  //递归右子树
}

void Update(int l, int r, int value, int step) 
{
    if(tree[step].left== tree[step].right)   //一直更新到叶子节点返回
        return;
    int mid = (tree[step].left +tree[step].right) >> 1;
    //如果所要更新的点的右端点小于mid或左端点大于mid，则直接更新l到r的值
    if(r <= mid)  
        Update(l,r, value, step<<1);
    else if(l> mid)
        Update(l,r, value, (step<<1)+1);
    //如果所要更新的点在mid的两边，则两边分别更新
    else 
    {   
        Update(l, mid, value, step<<1);
        Update(mid+1, r, value, (step<<1)+1);
    }
}

int Query(int l, int r, int step) 
{
    //找到叶子返回叶子值
    if(l == tree[step].left && r ==tree[step].right)
        return tree[step].值;
    int mid = (tree[step].left +tree[step].right) >> 1;
    //查询和更新类似，都是分段操作
    if(r <=mid)
        return Query(l, r, step<<1);
    if(l >mid)
        return Query(l, r, (step<<1)+1);
    else
        return Query(l, mid, step<<1)+Query(mid+1, r, (step<<1)+1);
}

   以杭电oj的一题很基础的线段树单点更新的问题为例帮助理解：HDUOJ 1166

C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些 工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少 若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报 第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样， 所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿 鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家 Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错 了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的 程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.

Input

第一行一个整数T，表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。
接下来每行有一条命令，命令有4种形式：
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;
每组数据最多有40000条命令

 Output

对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

 Sample Input

1

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Query 1 3

Add 3 6

Query 2 7

Sub 10 2

Add 6 3

Query 3 10

End

Sample Output

Case 1:

6

33

59

    很容易联想到线段树解决此类问题。

    以下代码转自tc大牛，在代码中我增加了函数的执行过程的注释，让执行的过程更容易理解。

#include <cstdio>
#include <cstring>
int const MAX = 400000 + 10;
struct Tree            //树结构体
{
	int left, right;     //树的左右子树
	int sum;            //树的值
} tree[MAX];
void Build(int l, int r, int step)  //建树,step代表树节点的编号(以下均是)
{
	tree[step].left = l;
	tree[step].right = r;
	tree[step].sum = 0;
	// cout<<"建树"<<step<<endl;
	printf("结点：%d  左 %d 右 %d\n",step,l,r);
	if(l == r)    //l == r时说明伸展到叶子节点，返回
		return;
	int mid = (l + r) >> 1;   //二分建树
	Build(l, mid, step<<1);
	Build(mid+1, r, (step<<1)+1);
}

void Update(int l, int r, int value, int step)  //更新函数
{
	tree[step].sum += value;   //因为这里是求和，所以直接将遍历到的点数值加上所传值
	printf("结点%d加上%d\n",step, value);
	if(tree[step].left == tree[step].right)   //一直更新到叶子节点返回
		return;
	int mid = (tree[step].left + tree[step].right) >> 1;
	if(r <= mid)   //如果所要更新的点的右端点小于mid，则直接更新l到r的值
		Update(l, r, value, step<<1);
	else if(l > mid)  //如果所要更新的点的左端点大于mid，则直接更新l到r的值
		//注意上面不能写成 r<mid 和 l>=mid 由树的性质决定，读者可以画图看出
		Update(l, r, value, (step<<1)+1);
	else  //如果所要更新的点在mid的两边，则两边分别更新
	{
		Update(l, mid, value, step<<1);
		Update(mid+1, r, value, (step<<1)+1);
	}
}

int Query(int l, int r, int step)  //查询函数
{
	if(l == tree[step].left && r == tree[step].right)
	{
		printf("返节点%d的值%d\n",step,tree[step].sum);
		return tree[step].sum;
	}
	 //找到叶子返回叶子值
	
	int mid = (tree[step].left + tree[step].right) >> 1;//以下类似更新步骤，不再阐述
	if(r <= mid)
	{
		printf("结点：%d  查询%d到%d   \n",step,l,r);
		return Query(l, r, step<<1);
	}

	if(l > mid)
	{
		printf("结点：%d  查询%d到%d   \n",step,l,r);
		return Query(l, r, (step<<1)+1);
	}
	else
	{
		printf("结点：%d  查询%d到%d 和%d  %d \n",step,l,mid,mid+1,r);
		return Query(l, mid, step<<1) + Query(mid+1, r, (step<<1)+1);
	}

}

int main()
{
	int T;
	int a, b, n;
	char cmd[6];
	scanf("%d",&T);
	for(int i = 1; i <= T; i++)
	{
		scanf("%d",&n);
		Build(1,n,1);  //1-n建树
		for(int j = 1; j <= n; j++)
		{
			int temp;
			scanf("%d",&temp);
			Update(j,j,temp,1);   //从根一直更新到叶子
		}
		printf("Case %d:\n",i);
		while(scanf("%s", cmd) != EOF && strcmp(cmd,"End") != 0)
		{
			scanf("%d %d",&a, &b);
			if(strcmp(cmd,"Query") == 0)
				printf("%d\n", Query(a,b,1));
			else if(strcmp(cmd,"Add") == 0)  //加的时候b的值为正
				Update(a,a,b,1);
			else if(strcmp(cmd,"Sub") == 0)  //减的时候b的值为负
				Update(a,a,-b,1);
		}
	}
}

    为帮助理解，一下是区间个数为5的线段树的构造过程：

    以下是添加五个数时线段树更新的过程：

    以下是查询区间2-5函数执行的过程：

    代码注释很详细，较为容易理解，若需提交oj只需将注释代码去掉即可。

    在此为防遗忘，特记下今日理解和收获以备来日复习。

线段树入门理解

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原文地址：http://blog.csdn.net/qq_26071477/article/details/51636464