“数”学－－迷之0.999...

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半年前，偶然留意到一个奇怪的现象 1/3*3＝1 而 0.333...*3＝0.999... ，当中差了一个非常小的数 0.000...1。一直百思不得其解。

而最近发现更为离奇的是，2/5+3/5＝1，0.4+0.6＝1，这个在十进制中完美无懈，但是转换到二进制后（人工转换，不存在计算机符点数不精确的问题）

同一个数在不同进制中居然不一样？

这就是一个很奇怪的问题了，为什么相同的数转换成小数后，不同的进制居然会出现不同的结果。那是不是说人类如果是以八进制或者十六进制的，那跟现在的十进制的科技发展都不一样了？？我们知道，十进制中，除数只含2和5因数的能够除尽，即不产生无限循环小数。而如果是二进制，则除数只含2才能除尽。（这里原因是跟小数点的移位相关，请自行百度不具体展开讲）这样的话不同的进制，就因为有的化为有限，有的化为无限，同样的数加起来结果却不相同。

同样的道理我们再回到1/3与0.333...的问题上，如果是使用三进制的话，1/3直接就等于0.1了，3*0.1＝1却完全正确。问题到底出在哪里呢？

1/3与0.333...

一步步来debug，我们先来看看 1/3化为小数0.333...这一步有没有问题。怎么看呢？我们日常的除法转换步骤因为太习以常了，很难发现其中有没有bug。那么就从结果反推吧

  0.333... ＝ 0.3+0.03+0.003+...+0.00...3

= 3/10+3/100+...+3/10ⁿ

= 3*(1/10+1/100+1/1000+...1/10ⁿ)

= 3*( 10^n-1/10ⁿ + 10^n-2/10ⁿ + 10^n-3/10ⁿ + ... +10⁰/10ⁿ)

= 3*( ((10ⁿ - 1)/9 )/10ⁿ )   等比求和公式

= 1/3 * (1-1/10ⁿ)

= 1/3 - 1/(3*10ⁿ)  （n→∞）

意外地发现，原来0.333...其实并不等于1/3，也就是说我们在分数转换成小数的时候，对于无限循环小数的省约写法其实是有误差的！

具体误差在哪里？那就再仔细把小学学的除法演算一遍：

  1÷3 ＝ 0.9÷3 + 0.1÷3

= 0.3 + 0.1÷3 ＝ 0.3+（0.09+0.01）÷3

= 0.33 + 0.01÷3 ＝ 0.33+（0.009+0.001）÷3

= 0.333 + 0.001÷3

=  。。。

而我们在除法取无限循环小数的时候，其实只是取了前半部分，后面的那项却被忽略了，后面那项是什么呢？仔细观察你会发现其实就是1/10ⁿ÷3   （n→∞）。

通过反推和正推，都发现确实是有bug存在。所以 3*0.333... ＝ 0.999... 其实是 3*[1/3 - 1/(3*10ⁿ)] ＝ 1-1/10ⁿ    （n→∞）

这样就间接说明了0.999...≠1，而0.999... 与1所相差的 0.00...1 其实就是 1/10ⁿ   （n→∞）

可能有人会问 1/10ⁿ（n→∞）是否等于0呢？最简单粗暴1/10ⁿ * 10ⁿ = 1，而0乘以任何数都等于0不可能等于1，所以1/10ⁿ不是0。当然还有千百种严谨的方法可以证明 1/10ⁿ 不是0 ，这个就请自行查阅了。

回顾到不同进制下数字的不同的问题，其实是并没有问题，都是在转换成小数的时候人为所产生的误差而已。

其他意见 及 我的反驳

有意思地在网上发现另外一些看法，并给出了看似无懈可击的反例。

1)大卫·福斯特·华莱士（David Foster Wallace）在他的 《Everything and More》一书中介绍了另外一个著名的证明：

而 9.999... 等于 10-1/10ⁿ ， 这两者明显不相等，第二个所以就已经错了，最终结果当然也法得来。

 2）”x 不等于 y 等价于存在一个z严格介于x和y之间“

 0.999...与1之间有没有存在介于两者之间的值呢？化成极限表达式来看看，1-（1/10ⁿ) 与 1之间有没有，随手就能举一抄出来（把分母加大），中间是有无限个。那为什么从小数的形式没有看到呢？因为这已经在十进制小数的精度约束下了。为什么这么说呢？要是而弄成十六进制还有A到F呢。十六进制的0.FFF...，有没有比十进制的0.999...更接近1？要是100进制呢，更大的进制呢？

如果。。。

如果你十分确信1/10ⁿ（n→∞）就是 0 ，那么以上讨论对你都没有说服力。但是这样的话就相当于确认了从分数到无限小数（如1/3 --> 0.333...） 的转化之间的 人为误差 对实际结果是没有任何影响的。而且等于说，1/0这样的数是存在的，还能出现 0 * 1/0 = 1 这样的乘法计算。疯狂的世界，谁知道呢？

参考资料

1、百度百科 《0.999...》

2、果壳网 《最让人纠结的等式：0.999...=1》

“数”学－－迷之0.999...

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原文地址：http://www.cnblogs.com/batsing/p/0_999.html