白昼时间和日出日没时刻的粗略计算

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本文将使用非常理想化的模型粗略地计算白昼时间和正午时刻，并以此算出日出、日没的时间。

怎么算白昼时间？或者说，怎么算白昼时间占一天时间中的比例？算出太阳的周日平行圈（太阳在天球上运动的轨迹）有多大一部分在地平线以上就可以了（忽略太阳一天之内的公转以及地球自转的不均匀）。

想要算出这个比例，需要这两个量：

如图，以北半球冬季为例，把天球、地平线和平行圈画出来，再作几条辅助线，通过几何关系来用 \( \delta \) 和 \( \varphi \) 表示要求的比例：

设天球的球心为 \(O\), 半径为 \(1\), 平行圈的圆心为 \(O‘\), 太阳从 \(A\) 点升起，从 \(B\) 点落下，观察者不在极点。连接 \(AB\), \(AO\), \(AO‘\), \(BO\), \(BO‘\).

取 \(AB\) 的中点 \(M\), 连接 \(MO\), \(MO‘\). 易知 \( \angle{OAO‘} = -\delta \), \( \angle{MOO‘} = \varphi \).

设 \( \angle{MO‘A} = \theta \), 则所求比例为 \( \frac{2\theta}{360^{\circ}} = \frac{\theta}{180^{\circ}} \).

\( \because OO‘\perp 平面 O‘AB \)

\( \therefore OO‘\perp O‘M, OO‘\perp O‘A \)

\( \therefore O‘O = \sin{(-\delta)}, O‘A = \cos{(-\delta)} \)

\( \therefore O‘M = O‘O \cdot \tan{\varphi} = \sin{(-\delta)}\tan{\varphi} \)

\( \therefore \cos{\theta} = \frac{O‘M}{O‘A} = \frac{\sin{(-\delta)}\tan{\varphi}}{\cos{(-\delta)}} = \tan{(-\delta)}\tan{\varphi} \)

\( \therefore \theta = \arccos{(\tan{(-\delta)}\tan{\varphi})} \)

\( \therefore \frac{\theta}{{180}^{\circ}} = \frac{\arccos{(\tan{(-\delta)}\tan{\varphi})}}{{180}^{\circ}} \)

得到昼长关于 \( \delta \) 和 \( \varphi \) 的表达式：

\( \mathrm{daytime} = \frac{\arccos{(\tan{(-\delta)}\tan{\varphi})}}{{180}^{\circ}} \cdot {24}^{\mathrm{h}} \) \( (\varphi \neq \pm {90}^{\circ}) \)

虽然这个式子是从「北半球冬季」这一种情况推出来的，但也适用于南半球和夏季（代入 \( -\delta \) 和 \( -\varphi \) 容易看出）。

……

那么问题来了：\( \delta \) 怎么求？还得画个球：

如图，天球的中心是地球，黄道和赤道相交，设春分点为 \(E\),  秋分点为 \(E‘\), 太阳为 \(S\), 黄赤交角为 \( \varepsilon \), 太阳地心黄经为 \( \lambda \).

通过几何关系用 \( \varepsilon \) 和 \( \lambda \) 表示 \( \delta \):

过 \(S\) 作大圆弧 \(SS‘\) 垂直于赤道交赤道于 \(S‘\) ( 图示位罝 ).

跟据球面三角形正弦定理，在球面 \( \triangle{SES‘} \) 中，有：

\( \frac{\sin{(-\delta)}}{\sin{\varepsilon}}=\frac{\sin{(-\lambda)}}{\sin{{90}^{\circ}}} \)

\( \sin{\delta} = \sin{\lambda}\sin{\varepsilon} \)

\( \delta = \arcsin{(\sin{\lambda}\sin{\varepsilon})} \)

这个式子也是适用于各种情况的。

……

问题又来了，\( \lambda \) 怎么求？这就不用画球了，也没球可画了。一是可以直接用轨道参数去算，二是可以先搞到各节气的日期，然后在邻近的两个节气间进行线性插值。

联立以上各式，可得白昼时间关于纬度和太阳黄经的表达式：

\( \mathrm{daytime} = {24}^{\mathrm{h}}\cdot\frac{\arccos{(\tan{(-\arcsin{(sin{\lambda}sin{\varepsilon})})}\tan{\varphi})}}{{180}^{\circ}} \) \( (\varphi \neq \pm {90}^{\circ}) \)

或

\( \mathrm{daytime} = {24}^{\mathrm{h}}\cdot(1-\frac{\arccos{(\tan{(\arcsin{(sin{\lambda}sin{\varepsilon})})}\tan{\varphi})}}{{180}^{\circ}}) \) \( (\varphi \neq \pm {90}^{\circ}) \)

或

\( \mathrm{daytime} = {24}^{\mathrm{h}}\cdot(1-\frac{\arccos{\frac{\sin{\lambda}\sin{\varepsilon}\tan{\varphi}}{\sqrt{1-\sin^2{\lambda}\sin^2{\varepsilon}}}}}{{180}^{\circ}}) \) \( (\varphi \neq \pm {90}^{\circ}) \)

北纬 \( {36.5}^{\circ} \) 的白昼时间关于太阳黄经的变化情况如下图：

看起来特别像正弦曲线，尝试拟合一下：

\( \mathrm{daytime} \approx {12}^{\mathrm{h}} \cdot [(1-\frac{\arccos{(\tan{\varepsilon}\tan{\varphi})}}{{90}^{\circ}})\cdot sin{\lambda} + 1] \) \( (\varphi \neq \pm {90}^{\circ}) \)

看看误差：

最大误差 \( \pm 6 \mathrm{min} \), 效果比较一般，表达式也没简化多少，看来还是得用原式。

有了白昼时间，日出日没时刻可用下面两式计算：

\( T_{sunrise} = T_{noon} - \frac{\mathrm{daytime}}{2} \) (1)

\( T_{sunset} = T_{noon} + \frac{\mathrm{daytime}}{2} \) (2)

问题又来了，正午 \( T_{noon} \) 不一定是 12:00:

首先，区时和地方时之间有可能会差不少，这会导致正午时刻偏离 12:00.

其次，由于太阳运动的不均匀（均時差），正午时刻也会偏离 12:00.

这两个效应会叠加。第一个问题好解决，只要知道时区中央经线的经度和当地的经度，就万事大吉了。第二个就不大好算了。《天文算法》中给出了一个近似公式（我把高阶项都扔掉了）：

\( E‘ = T_{mean}-T_{true} = 4 \cdot [ \tan^2{(\frac{\varepsilon}{2})}\cdot \sin{2L}+2e\cdot \sin{(L-\bar{\omega})} ] \) ( E 的单位为分钟 )

其中 \(L\) 为太阳平黄经（即平太阳黄经，（假想的）平太阳以一个回归年为周期在黄道上做匀速圆周运动。可以近似地认为它等于上个春分和今天之间差的天数（或再乘以平太阳的角速度 \( \frac{{360}^{\circ}}{{365.2422}^{\mathrm{d}}} \) ）），\(e\) 为地球轨道离心率，\( \bar{\omega} \) 为地球近日点（日心）黄经。\(e \approx 0.0167 \) 和 \( \bar{\omega}\approx {102.982}^{\circ} \) 在短时间内可看作常数。

作图（\(E\) 关于 \(L\) 的变化情况）：

现在要求正午时间，令 \( T_{true} = 12:00 \), 解得：

\( T_{mean}=12:00+E‘ \)

补上区时和地方时的偏差，最终得到：

 \( T_{noon}=12:00 + 4^{\mathrm{m}}\cdot(L_{zone}-L_{local}) + 4^{\mathrm{m}} \cdot [ \tan^2{(\frac{\varepsilon}{2})}\cdot \sin{2L}+2e\cdot \sin{(L-\bar{\omega})} ] \)

其中 \( L_{zone} \) 和 \( L_{local} \) 分别为时区中央经线的经度和当地的经度（东经为正）。

至此，大功告成，用 (1) 和 (2) 计算日出日没就可以了。

白昼时间和日出日没时刻的粗略计算

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原文地址：http://www.cnblogs.com/li-hua/p/5593648.html