用贝叶斯判别分析再次预测股票涨跌情况

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注：本文是从贝叶斯分类器的角度来讨论判别分析，有关贝叶斯分类器的概念可参考文末延伸阅读第1-2篇文章。至于Fisher判别分析，未来会连同PCA一同讨论。

判别分析也是一种分类器，与逻辑回归相比，它具有以下优势：

1. 当类别的区分度高的时候，逻辑回归的参数估计不够稳定，它点在线性判别分析中是不存在的；
2. 如果样本量n比较小，而且在每一类响应变量中预测变量X近似服从正态分布，那么线性判别分析比逻辑回归更稳定；
3. 多于两类的分类问题时，线性判别分析更普遍。

贝叶斯分类器

贝叶斯分类的基本思想是：对于多分类（大于等于2类）的问题，计算在已知条件下各类别的条件概率，取条件概率最大的那一类作为分类结果。用公式描述如下：

其中，是第k类的先验概率，是第k类的概率密度（当然如果是离散型变量就是条件概率，本文考虑连续型变量）。这个公式就是贝叶斯定理。

线性判别分析（Linear Discriminant Analysis, LDA）

1、 一元线性判别分析

假设特征变量满足正态分布，即：

线性判别分析有一个重要假设：假设所有K类的划分方差相同，即==……=。根据贝叶斯定理有：

对分子取对数转换，可见最大等价于下式最大：

（这里十分诚意地附上推导过程，没兴趣的可以直接跳过：）

所以只要找到令上式最大的k值即可。从上式可看出，一共有、、这三种参数需要估计拟合。先验概率可以根据业务知识进行预先估计，如果不行也可以直接以样本中第k类的样本在所有类的总样本中的比例当作先验概率，即

至于期望和方差，直接根据各类的观测值计算即可：

从上上式（我就不编号）可看出，是的线性函数，这也是LDA名为“线性”的原因。

2、多元线性判别分析

多元LDA由于涉及到多个特征变量，因此用协方差矩阵来代替一维方差（协方差矩阵的概念可参考延伸阅读文献3）。这里直接给结论，线性模型就变成：

除了方差变成协方差矩阵，和也变成了向量。注意这里的还是一次，仍然是线性模型。

二次判别分析（Quadratic Discriminant Analysis, QDA）

在LDA中假设所有的K类方差（或协方差矩阵）都相同，但这个假设有些严苛，如果放宽这个假设，允许每一类的观测都各自服从一个正态分布，协方差矩阵可以不同，LDA就变成了QDA。这里依然直接给公式：

可见是的二次函数，故名“二次判别分析”。

QDA与LDA的关系类似于多项式回归与线性回归的关系，本质上仍是偏差和方差的权衡，这也是Machine Learning领域的一个核心问题。QDA比LDA光滑，偏差更小，但方差更大。那么它们的适用条件呢？

一般而言，如果训练观测数据量相对较少，LDA是一个比QDA更好的决策，降低模型的方差很有必要。相反地，如果训练集非常大，则更倾向于使用QDA，这时分类器的方差不再是一个主要关心的问题，或者说K类的协方差矩阵相同的假设是站不住脚的。

实战：用LDA(QDA)再次预测股票涨跌

这里为了方(tou)便(lan)，依然使用延伸阅读文献4里的数据集，即ISLR包里的Smarket数据集。用不同方法做同样的事，其实也方便将不同方法进行对比。

> library(ISLR)
> library(MASS)
> attach(Smarket)
> lda.fit=lda(Direction~Lag1+Lag2,data=Smarket, subset=Year<2005)
> lda.fit
Call:
lda(Direction ~ Lag1 + Lag2, data = Smarket, subset = Year < 
    2005)

Prior probabilities of groups:
    Down       Up 
0.491984 0.508016 

Group means:
            Lag1        Lag2
Down  0.04279022  0.03389409
Up   -0.03954635 -0.03132544

Coefficients of linear discriminants:
            LD1
Lag1 -0.6420190
Lag2 -0.5135293

Prior probabilities of groups是先验概率，实际上就是各类别在训练集中的比例：

> table(Smarket[Year<2005,9])/nrow(Smarket[Year<2005,])

    Down       Up 
0.491984 0.508016

Group means是对每类每个变量计算平均，用来估计参数。通过Group means矩阵可看出：当股票下跌时，前两天的投资回报率会趋向于正；当股票上涨时，前两天的投资回报率会趋向于负。Coefficients of linear discriminants则是线性模型的系数，说明当很大时，LDA分类器预测上涨；很小时，LDA分类器预测下跌。

> plot(lda.fit)

上面的图是对LDA模型的可视化，实际上它是训练集的分别在Down类和Up类的直方图。下面验证比较一下：

library(dplyr)
Lag1_1 <- Smarket %>% filter(Year<"2005", Direction=="Down") %>% select(Lag1)
Lag2_1 <- Smarket %>% filter(Year<"2005", Direction=="Down") %>% select(Lag2) 
Lag1_2 <- Smarket %>% filter(Year<"2005", Direction=="Up") %>% select(Lag1) 
Lag2_2 <- Smarket %>% filter(Year<"2005", Direction=="Up") %>% select(Lag2) 
lm_1 <- (-0.6420190*Lag1_1-0.5135293*Lag2_1)[,1]
lm_2 <- (-0.6420190*Lag1_2-0.5135293*Lag2_2)[,1]
par(mfrow=c(2,1))
hist(lm_1,breaks=16,freq = F,col="lightblue")
hist(lm_2,breaks=16,freq = F,col="lightblue")

可见直方图形状完全一致。

以上在训练集中对LDA模型的训练过程。下面在测试集中验证LDA模型。

> Smarket.2005=subset(Smarket,Year==2005)
> lda.pred=predict(lda.fit,Smarket.2005)
> class(lda.pred)
[1] "list"
> names(lda.pred)
[1] "class"     "posterior" "x"        
> data.frame(lda.pred)[1:5,]
     class posterior.Down posterior.Up         LD1
999     Up      0.4901792    0.5098208  0.08293096
1000    Up      0.4792185    0.5207815  0.59114102
1001    Up      0.4668185    0.5331815  1.16723063
1002    Up      0.4740011    0.5259989  0.83335022
1003    Up      0.4927877    0.5072123 -0.03792892
> table(lda.pred$class,Smarket.2005$Direction)

       Down  Up
  Down   35  35
  Up     76 106
> mean(lda.pred$class==Smarket.2005$Direction)
[1] 0.5595238

比较一下上一篇逻辑回归（延伸阅读文献4）中的结果：

> glm.fit=glm(Direction~Lag1+Lag2,data=Smarket,family=binomial, subset=train)
> glm.probs=predict(glm.fit,newdata=Smarket[!train,],type="response") 
> glm.pred=ifelse(glm.probs >0.5,"Up","Down")
> table(glm.pred,Direction.2005)
        Direction.2005
glm.pred Down  Up
    Down   35  35
    Up     76 106
> mean(glm.pred==Direction.2005)
[1] 0.5595238

LDA的结果与逻辑回归完全一致！以一个数据分析狮敏锐的第六感，我们可以大胆猜测：LDA与逻辑回归这两种算法可能有某种内在联系!

这里不做严谨的推导（深层的推导可参考延伸阅读文献6），只作一个简单的验证比较。为了简单起见，只考虑二分类问题，多分类问题可同理类推。
$$
log(\frac{p_1(x)}{1-p_1(x)})=log(\frac{p_1(x)}{p_2(x)})=log(p_1(x))-log(p_2(x))=x*\frac{\mu_1-\mu_2}{\sigma^2}-\frac{\mu_1^2-\mu_2^2}{2\sigma^2}+log(\frac{\pi_1}{\pi_2})
$$
可见这仍是关于x的线性函数，与逻辑回归形式一致！虽然形式一致，但逻辑回归的参数是通过极大似然法估计出来的，LDA的参数是概率密度函数计算出来的。

由于LDA与逻辑回归形只是拟合过程不同，因此二者所得的结果应该是接近的。事实上，这一情况经常发生，但并非必然。LDA假设观测服从每一类的协方差矩阵都相同的正态分布，当这一假设近似成立时，LDA效果比逻辑回归好；相反，若这个假设不成立，则逻辑回归效果比LDA好。

下面练习QDA：

> qda.fit=qda(Direction~Lag1+Lag2,data=Smarket,subset=train)
> qda.fit
Call:
qda(Direction ~ Lag1 + Lag2, data = Smarket, subset = train)

Prior probabilities of groups:
    Down       Up 
0.491984 0.508016 

Group means:
            Lag1        Lag2
Down  0.04279022  0.03389409
Up   -0.03954635 -0.03132544
> qda.class=predict(qda.fit,Smarket.2005)$class
> table(qda.class,Direction.2005)
         Direction.2005
qda.class Down  Up
     Down   30  20
     Up     81 121
> mean(qda.class==Direction.2005)
[1] 0.5992063

可见QDA的准确率稍高于LDA。

参考文献

Gareth James et al. An Introduction to Statistical Learning.

延伸阅读

1. 算法杂货铺——分类算法之朴素贝叶斯分类(Naive Bayesian classification)
2. 算法杂货铺——分类算法之贝叶斯网络(Bayesian networks)
3. 协方差的意义和计算公式
4. 逻辑回归模型预测股票涨跌
5. 机器学习笔记 线性判别分析（上）
6. 机器学习笔记 线性判别分析（中）