【莫比乌斯反演】专题总结

时间：2016-06-20 15:23:28 阅读：231 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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先定义一下，数论函数指的定义域是在正整数域下f(1)不等于0的函数。

来自Syu Gau

http://www.zhihu.com/question/23764267/answer/26007647

有以下几个概念

1，卷积：
设 $技术分享$ 是两个数论函数（也就是说，以自然数集为定义域的复数值函数），则卷积运算 $技术分享$ 定义为
$技术分享$
可以证明，卷积运算满足：
1）交换律： $技术分享$
由定义显然。

2）结合律： $技术分享$
考察两边作用在 $技术分享$ 上，左边是
$技术分享$
右边是
$技术分享$
故两边相等。

3）存在单位元 $技术分享$ 使得 $技术分享$
我们需要
$技术分享$
故不难猜到 $技术分享$ 应该定义为 $技术分享$
事实上，直接验证可得
$技术分享$

以上说明数论函数在卷积意义下构成一个交换群。

2，乘法单位元 $技术分享$
上面的 $技术分享$ 是数论函数在卷积意义下的单位元，而普通乘法 $技术分享$ 意义下的单位元显然是把所有自然数都映到1的函数，记作 $技术分享$ 。

3，莫比乌斯函数 $技术分享$
$技术分享$ 在卷积意义下的逆元，称为莫比乌斯函数。也就是说 $技术分享$ 是满足
$技术分享$
的唯一的数论函数。
把这个表达式写开就是
$技术分享$ …………(*)

通常，莫比乌斯函数 $技术分享$ 定义为
$技术分享$ ；
$技术分享$ ，如果 $技术分享$ 能写成 $技术分享$ 个不同素数之积；
$技术分享$ ，其他情况。

按照这种定义不难证明(*)式。
对于 $技术分享$ ，(*)式成立；
对于 $技术分享$ ，用算术基本定理把 $技术分享$ 写成
$技术分享$
于是
$技术分享$

现在来看看莫比乌斯反演说的是什么呢？
$技术分享$
当且仅当
$技术分享$
换而言之，
$技术分享$

证明：
$技术分享$
反之
$技术分享$

而关于gcd,我们假设

g(i)代表在i=gcd(x,y)下

f(i)代表在i|gcd(x,y)下

有

f(n)=Σg(d) d|n

g(n)=Σf(d)*u(n/d) d|n

这本质上是一种容斥~

【莫比乌斯反演】专题总结

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原文地址：http://www.cnblogs.com/qzqzgfy/p/5600375.html

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