利用神经网络做分类的时候，可以将神经网络看成一个mapping function，从输入到输出经过复杂的非线性变换。而输出的预测值与实际的目标值总是存在一定偏差的，一般利用这种偏差建立error 函数，再利用back propagation 来训练神经网络。
我们可以探讨一下，error 函数与概率分布或者概率密度函数的关系。
二分类
先来看二分类情况(t∈{0,1})，我们假设网络最终的输出会经过一个sigmoid 函数:
y=σ(a)=11+exp(?a)
0≤y(x,w)≤1, y(x,w) 可以看成是x 属于第一类的条件概率 p(C2|x), 显然，p(C1|x)=1?y(x,w), 这种概率分布可以用伯努利分布来表示:
p(t|x,w)=y(x,w)t(1?y(x,w))1?t
那么，给定一组训练数据，含有N个独立观测的样本，我们可以建立如下的概率分布:
p(D|w)=∏n=1Np(tn|w)=∏k=1Nyntn(1?yn)1?tn
这里，yn=y(xn,w). 对上式取对数，对应的是似然估计函数:
lnp(D|w)=∑n=1N{tnlnyn+(1?tn)ln(1?yn)}
我们转换成error的时候，当然是希望error越小越好，最大似然估计对应最小的error，所以对上式取负号，可以得到如下的error函数:
E(w)=?∑n=1N{tnlnyn+(1?tn)ln(1?yn)}
这个就是训练二分类神经网络的时候，用的error 函数。
多个二分类
如果是多个二分类同时存在的情况，就像我们之前在离散变量的概率分布里讨论的那样，可以建立如下的概率分布:
p(t|x,w)=∏k=1Kytkk(1?yk)(1?tk)
整个训练集的概率分布可以表示为:
p(D|w)=∏n=1N∏k=1Kp(tnk|w)=∏n=1N∏k=1Kynktnk(1?ynk)1?tnk
与二分类的情况类似，我们可以通过似然函数，取负对数，得到相应的error 函数:
E(w)=?∑n=1N∑k=1K{tnklnynk+(1?tnk)ln(1?ynk)}
多分类
最后，我们再讨论一下多分类的情况，可以用0-1组成的向量来表示输出，每个输出向量中，只有一个1，其它都是0，第几个分量为1，说明输入的x 属于第几类。y(x,w)=p(tk=1|x), 这种多分类与上面讨论的多个二分类的情况不同，多分类中，每次的输出向量中只有一个1。显然:
∑k=1Kp(tk=1|x)=1
给定一个样本，其概率分布为:
p(t|x,w)=∏k=1Kp(tk|x,w)=∏k=1Kyk(x,w)tk
一组训练样本的概率分布可以表示为:
p(D|w)=∏n=1N∏k=1Kp(tnk|w)=∏n=1N∏k=1Kynktnk
对上式取负对数，我们可以得到多分类的error函数为:
E(w)=?∑n=1N∑k=1Ktnklnyk(xn,w)
其中:
yk(x,w)=exp(ak(x,w))∑jexp(aj(x,w))
