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匹萨的直径与价格的数据

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
def runplt():
    plt.figure()
    plt.title(u‘diameter-cost curver‘)
    plt.xlabel(u‘diameter‘)
    plt.ylabel(u‘cost‘)
    plt.axis([0, 25, 0, 25])
    plt.grid(True)
    return plt

plt = runplt()
X = [[6], [8], [10], [14], [18]]
y = [[7], [9], [13], [17.5], [18]]
plt.plot(X, y, ‘k.‘)
plt.show()

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训练模型

from sklearn.linear_model import LinearRegression
import numpy as np
# 创建并拟合模型
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)
print(‘预测一张12英寸匹萨价格：$%.2f‘ % model.predict(np.array([12]).reshape(-1, 1))[0])

预测一张12英寸匹萨价格：$13.68

一元线性回归假设解释变量和响应变量之间存在线性关系；这个线性模型所构成的空间是一个超平面（hyperplane）。

超平面是n维欧氏空间中余维度等于一的线性子空间，如平面中的直线、空间中的平面等，总比包含它的空间少一维。

在一元线性回归中，一个维度是响应变量，另一个维度是解释变量，总共两维。因此，其超平面只有一维，就是一条线。

上述代码中sklearn.linear_model.LinearRegression类是一个估计器（estimator）。估计器依据观测值来预测结果。在scikit-learn里面，所有的估计器都带有:
- fit()
- predict()

fit()用来分析模型参数，predict()是通过fit()算出的模型参数构成的模型，对解释变量进行预测获得的值。
因为所有的估计器都有这两种方法，所有scikit-learn很容易实验不同的模型。

一元线性回归模型：

$$y=\alpha + \beta x$$

一元线性回归拟合模型的参数估计常用方法是:
- 普通最小二乘法（ordinary least squares ）
- 线性最小二乘法（linear least squares）

首先，我们定义出拟合成本函数，然后对参数进行数理统计。

plt = runplt()
plt.plot(X, y, ‘k.‘)
X2 = [[0], [10], [14], [25]]
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)
y2 = model.predict(X2)
plt.plot(X, y, ‘k.‘)
plt.plot(X2, y2, ‘g-‘)
plt.show()

plt = runplt()
plt.plot(X, y, ‘k.‘)
y3 = [14.25, 14.25, 14.25, 14.25]
y4 = y2 * 0.5 + 5
model.fit(X[1:-1], y[1:-1])
y5 = model.predict(X2)
plt.plot(X, y, ‘k.‘)
plt.plot(X2, y2, ‘g-.‘)
plt.plot(X2, y3, ‘r-.‘)
plt.plot(X2, y4, ‘y-.‘)
plt.plot(X2, y5, ‘o-‘)
plt.show()

成本函数（cost function）也叫损失函数（loss function），用来定义模型与观测值的误差。模型预测的价格与训练集数据的差异称为残差（residuals）或训练误差（training errors）。后面我们会用模型计算测试集，那时模型预测的价格与测试集数据的差异称为预测误差（prediction errors）或训练误差（test errors）。

模型的残差是训练样本点与线性回归模型的纵向距离，如下图所示：

plt = runplt()
plt.plot(X, y, ‘k.‘)
X2 = [[0], [10], [14], [25]]
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)
y2 = model.predict(X2)
plt.plot(X, y, ‘k.‘)
plt.plot(X2, y2, ‘g-‘)

# 残差预测值
yr = model.predict(X)
for idx, x in enumerate(X):
    plt.plot([x, x], [y[idx], yr[idx]], ‘r-‘)

plt.show()

我们可以通过残差之和最小化实现最佳拟合，也就是说模型预测的值与训练集的数据最接近就是最佳拟合。对模型的拟合度进行评估的函数称为残差平方和（residual sum of squares）成本函数。就是让所有训练数据与模型的残差的平方之和最小化，如下所示：

$$SS_{res} = \sum_{i=1}^{n}(y_i - f(x_i))^2$$

其中， $y_i$ 是观测值， $f(x_i)f(x_i)$ 是预测值。

import numpy as np
print(‘残差平方和: %.2f‘ % np.mean((model.predict(X) - y) ** 2))

残差平方和: 1.75

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解一元线性回归的最小二乘法

通过成本函数最小化获得参数，我们先求相关系数 ββ 。按照频率论的观点，我们首先需要计算 xx 的方差和 xx 与 yy 的协方差。
方差是用来衡量样本分散程度的。如果样本全部相等，那么方差为0。方差越小，表示样本越集中，反正则样本越分散。方差计算公式如下：

$$var(x) = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n-1}$$

Numpy里面有var方法可以直接计算方差，ddof参数是贝塞尔(无偏估计)校正系数（Bessel’s correction），设置为1，可得样本方差无偏估计量。

print(np.var([6, 8, 10, 14, 18], ddof=1))

23.2

协方差表示两个变量的总体的变化趋势。如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。如果两个变量不相关，则协方差为0，变量线性无关不表示一定没有其他相关性。协方差公式如下：

$$cov(x,y)=\frac {\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})} {n-1}$$

其中， $\overline{x}$是直径 $x$的均值， $x_i$的训练集的第 $i$个直径样本， $\overline y$是价格$y$的均值， $y_i$的训练集的第$i$个价格样本， $n$是样本数量。Numpy里面有cov方法可以直接计算方差。

import numpy as np
print(np.cov([6, 8, 10, 14, 18], [7, 9, 13, 17.5, 18])[0][1])

22.65

现在有了方差和协方差，就可以计算相关系统 $\beta$ 了。

$$\beta = \frac {cov(x,y)}{var(x)}$$

算出$\beta$后，我们就可以计算$\alpha$了：

$$\alpha = \overline{y}-\beta \overline{x}$$

将前面的数据带入公式就可以求出$\alpha$了：

$$\alpha = 12.9 - 0.9762931 \times 11.2 = 1.9655$$

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模型评估

前面我们用学习算法对训练集进行估计，得出了模型的参数。有些度量方法可以用来评估预测效果，我们用R方（r-squared）评估匹萨价格预测的效果。R方也叫确定系数（coefficient of determination），表示模型对现实数据拟合的程度。计算R方的方法有几种。一元线性回归中R方等于皮尔逊积矩相关系数（Pearson product moment correlation coefficient或Pearson’s r）的平方。种方法计算的R方一定介于0～1之间的正数。其他计算方法，包括scikit-learn中的方法，不是用皮尔逊积矩相关系数的平方计算的，因此当模型拟合效果很差的时候R方会是负值。下面我们用scikit-learn方法来计算R方。

$$SS_{tot} = \sum_{i=1}^{n}(y_i - \overline{y})^2$$
$$SS_{res} = \sum_{i=1}^{n}(y_i - f(x_i))^2$$
$$R^2 = 1 - \frac {SS_{res}} {SS_{tot}}$$

R方是0.6620说明测试集里面过半数的价格都可以通过模型解释。现在，让我们用scikit-learn来验证一下。LinearRegression的score方法可以计算R方：

# 测试集
X_test = [[8], [9], [11], [16], [12]]
y_test = [[11], [8.5], [15], [18], [11]]
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)
model.score(X_test, y_test)

0.66200528638545164

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多元回归

from sklearn.linear_model import LinearRegression
X = [[6, 2], [8, 1], [10, 0], [14, 2], [18, 0]]
y = [[7], [9], [13], [17.5], [18]]
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)
X_test = [[8, 2], [9, 0], [11, 2], [16, 2], [12, 0]]
y_test = [[11], [8.5], [15], [18], [11]]
predictions = model.predict(X_test)
for i, prediction in enumerate(predictions):
    print(‘Predicted: %s, Target: %s‘ % (prediction, y_test[i]))
print(‘R-squared: %.2f‘ % model.score(X_test, y_test))

Predicted: [ 10.06250019], Target: [11]
Predicted: [ 10.28125019], Target: [8.5]
Predicted: [ 13.09375019], Target: [15]
Predicted: [ 18.14583353], Target: [18]
Predicted: [ 13.31250019], Target: [11]
R-squared: 0.77

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多项式回归

上例中，我们假设解释变量和响应变量的关系是线性的。真实情况未必如此。下面我们用多项式回归，一种特殊的多元线性回归方法，增加了指数项。现实世界中的曲线关系都是通过增加多项式实现的，其实现方式和多元线性回归类似。本例还用一个解释变量，匹萨直径。让我们用下面的数据对两种模型做个比较：

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
X_train = [[6], [8], [10], [14], [18]]
y_train = [[7], [9], [13], [17.5], [18]]
X_test = [[6], [8], [11], [16]]
y_test = [[8], [12], [15], [18]]
# 建立线性回归，并用训练的模型绘图
regressor = LinearRegression()
regressor.fit(X_train, y_train)
xx = np.linspace(0, 26, 100)
yy = regressor.predict(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
plt = runplt()
plt.plot(X_train, y_train, ‘k.‘)
plt.plot(xx, yy)

quadratic_featurizer = PolynomialFeatures(degree=2)
X_train_quadratic = quadratic_featurizer.fit_transform(X_train)
X_test_quadratic = quadratic_featurizer.transform(X_test)
regressor_quadratic = LinearRegression()
regressor_quadratic.fit(X_train_quadratic, y_train)
xx_quadratic = quadratic_featurizer.transform(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
plt.plot(xx, regressor_quadratic.predict(xx_quadratic), ‘r-‘)
plt.show()
print(X_train)
print(X_train_quadratic)
print(X_test)
print(X_test_quadratic)
print(‘1 r-squared‘, regressor.score(X_test, y_test))
print(‘2 r-squared‘, regressor_quadratic.score(X_test_quadratic, y_test))

[[6], [8], [10], [14], [18]]
[[   1.    6.   36.]
 [   1.    8.   64.]
 [   1.   10.  100.]
 [   1.   14.  196.]
 [   1.   18.  324.]]
[[6], [8], [11], [16]]
[[   1.    6.   36.]
 [   1.    8.   64.]
 [   1.   11.  121.]
 [   1.   16.  256.]]
(‘1 r-squared‘, 0.80972683246686095)
(‘2 r-squared‘, 0.86754436563450732)

plt = runplt()
plt.plot(X_train, y_train, ‘k.‘)

quadratic_featurizer = PolynomialFeatures(degree=2)
X_train_quadratic = quadratic_featurizer.fit_transform(X_train)
X_test_quadratic = quadratic_featurizer.transform(X_test)
regressor_quadratic = LinearRegression()
regressor_quadratic.fit(X_train_quadratic, y_train)
xx_quadratic = quadratic_featurizer.transform(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
plt.plot(xx, regressor_quadratic.predict(xx_quadratic), ‘r-‘)

cubic_featurizer = PolynomialFeatures(degree=3)
X_train_cubic = cubic_featurizer.fit_transform(X_train)
X_test_cubic = cubic_featurizer.transform(X_test)
regressor_cubic = LinearRegression()
regressor_cubic.fit(X_train_cubic, y_train)
xx_cubic = cubic_featurizer.transform(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
plt.plot(xx, regressor_cubic.predict(xx_cubic))
plt.show()
print(X_train_cubic)
print(X_test_cubic)
print(‘2 r-squared‘, regressor_quadratic.score(X_test_quadratic, y_test))
print(‘3 r-squared‘, regressor_cubic.score(X_test_cubic, y_test))

[[  1.00000000e+00   6.00000000e+00   3.60000000e+01   2.16000000e+02]
 [  1.00000000e+00   8.00000000e+00   6.40000000e+01   5.12000000e+02]
 [  1.00000000e+00   1.00000000e+01   1.00000000e+02   1.00000000e+03]
 [  1.00000000e+00   1.40000000e+01   1.96000000e+02   2.74400000e+03]
 [  1.00000000e+00   1.80000000e+01   3.24000000e+02   5.83200000e+03]]
[[  1.00000000e+00   6.00000000e+00   3.60000000e+01   2.16000000e+02]
 [  1.00000000e+00   8.00000000e+00   6.40000000e+01   5.12000000e+02]
 [  1.00000000e+00   1.10000000e+01   1.21000000e+02   1.33100000e+03]
 [  1.00000000e+00   1.60000000e+01   2.56000000e+02   4.09600000e+03]]
(‘2 r-squared‘, 0.86754436563450732)
(‘3 r-squared‘, 0.83569241560369567)

plt = runplt()
plt.plot(X_train, y_train, ‘k.‘)

quadratic_featurizer = PolynomialFeatures(degree=2)
X_train_quadratic = quadratic_featurizer.fit_transform(X_train)
X_test_quadratic = quadratic_featurizer.transform(X_test)
regressor_quadratic = LinearRegression()
regressor_quadratic.fit(X_train_quadratic, y_train)
xx_quadratic = quadratic_featurizer.transform(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
plt.plot(xx, regressor_quadratic.predict(xx_quadratic), ‘r-‘)

seventh_featurizer = PolynomialFeatures(degree=7)
X_train_seventh = seventh_featurizer.fit_transform(X_train)
X_test_seventh = seventh_featurizer.transform(X_test)
regressor_seventh = LinearRegression()
regressor_seventh.fit(X_train_seventh, y_train)
xx_seventh = seventh_featurizer.transform(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
plt.plot(xx, regressor_seventh.predict(xx_seventh))
plt.show()
print(‘2 r-squared‘, regressor_quadratic.score(X_test_quadratic, y_test))
print(‘7 r-squared‘, regressor_seventh.score(X_test_seventh, y_test))

(‘2 r-squared‘, 0.86754436563450732)
(‘7 r-squared‘, 0.49198460568655)

可以看出，七次拟合的R方值更低，虽然其图形基本经过了所有的点。可以认为这是拟合过度（over-fitting）的情况。这种模型并没有从输入和输出中推导出一般的规律，而是记忆训练集的结果，这样在测试集的测试效果就不好了。

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正则化

LASSO方法会产生稀疏参数，大多数相关系数会变成0，模型只会保留一小部分特征。而岭回归还是会保留大多数尽可能小的相关系数。当两个变量相关时，LASSO方法会让其中一个变量的相关系数会变成0，而岭回归是将两个系数同时缩小。

import numpy as np
from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.linear_model import SGDRegressor
from sklearn.cross_validation import cross_val_score
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.cross_validation import train_test_split
data = load_boston()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(data.data, data.target)
X_scaler = StandardScaler()
y_scaler = StandardScaler()
X_train = X_scaler.fit_transform(X_train)
y_train = y_scaler.fit_transform(y_train.reshape(-1, 1))
X_test = X_scaler.transform(X_test)
y_test = y_scaler.transform(y_test.reshape(-1, 1))
regressor = SGDRegressor(loss=‘squared_loss‘,penalty="l1")
scores = cross_val_score(regressor, X_train, y_train.reshape(-1, 1), cv=5)
print(‘cv R‘, scores)
print(‘mean of cv R‘, np.mean(scores))
regressor.fit_transform(X_train, y_train)
print(‘Test set R‘, regressor.score(X_test, y_test))

(‘cv R‘, array([ 0.74761441,  0.62036841,  0.6851797 ,  0.63347999,  0.79476346]))
(‘mean of cv R‘, 0.69628119572104885)
(‘Test set R‘, 0.75084948718041566)