01背包问题

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问题描述：

给定N中物品和一个背包。物品i的重量是W_i,其价值位V_i ，背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？？

在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能讲物品i装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。 

问题分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:

(1)   V(i,0)=V(0,j)=0 

(2)   V(i,j)=V(i-1,j)  j<w_i  

       V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-w_i)+v_i) } j>w_i

(1)式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入 背包；第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个 物品装入容量位j-w_i 的背包中的价值加上第i个物品的价值v_i; (b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

#include <stdio.h>
int V[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值
int max(int a,int b)
{
  if(a>=b)
    return a;
  else return b;
}

int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int C)
{
  int i,j;
  for(i=0;i<=n;i++)
    V[i][0]=0;
  for(j=0;j<=C;j++)
    V[0][j]=0;
  for(i=0;i<=n-1;i++)
    for(j=0;j<=C;j++)
      if(j<w[i])
        V[i][j]=V[i-1][j];
      else
        V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
  j=C;
  for(i=n-1;i>=0;i--)
    {
      if(V[i][j]>V[i-1][j])
        {
          x[i]=1;
          j=j-w[i];
        }
      else
        x[i]=0;
    }
  printf("选中的物品是:\n");
  for(i=0;i<n;i++)
    printf("%d ",x[i]);
  printf("\n");
  return V[n-1][C];

}

int main()
{
  int s;//获得的最大价值
  int w[15];//物品的重量
  int v[15];//物品的价值
  int x[15];//物品的选取状态
  int n,i;
  int C;//背包最大容量
  n=5;
  printf("请输入背包的最大容量:\n");
  scanf("%d",&C);

  printf("输入物品数:\n");
  scanf("%d",&n);
  printf("请分别输入物品的重量:\n");
  for(i=0;i<n;i++)
    scanf("%d",&w[i]);

  printf("请分别输入物品的价值:\n");
  for(i=0;i<n;i++)
    scanf("%d",&v[i]);

  s=KnapSack(n,w,v,x,C);

  printf("最大物品价值为:\n");
  printf("%d\n",s);

  return 0;
}

01背包问题

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原文地址：http://www.cnblogs.com/guxuanqing/p/5605747.html