一个矩阵的所有子矩阵最大和问题

Preface

??今天早上刷微博，看到LeetCode中国微博发了这样一条状态：

Analysis

??想了一上午，也没想出什么头绪。后来我看 LeetCode 上有不少人已经做出提交了。并且，在discuss页面里，有人公布了详细的解释与代码。
??我看了一下，他这个解法是基于Kadane Algorithm了。于是，先得学习一下什么是Kadane Algorithm。

Kadane Algorithm

??Kadane Algorithm 用于解决对一列数组中，求其中子序列的和最大的值。Kadane 的代码很多，各种语言的也都有，我下面摘取这个网站上的C++代码，理解分析一下：

#include <iostream>
#include <climits>
using namespace std;

#define MAX(X, Y) (X > Y) ? X : Y
#define POS(X) (X > 0) ? X : 0

int kadane(int* row, int len)
{
    int x;

    //拿数组的第一个元素出来，若其大于0，则另sum = row[0]
    //若其小于或等于0，则令sum = 0，
    int sum = POS(row[0]); 
    int maxSum = INT_MIN; //INT_MIN是<climits>文件定义的，代表int类型最小值：-2147483648
    for (x = 0; x < len; ++x)
    {   
        //Kadane 算法的核心部分
        //maxSum用于记录最大的子序列和，并每一次与sum进行比较，若当sum比之前的maxSum要大，则将现在的sum值赋予maxSum
        //sum每加一个值，跟0进行一次比较，若加完row[x]都小于0了，那么就直接将sum置为0，接着开始一个新的子序列，并进行求和
        maxSum = MAX(sum, maxSum);
        sum = POS(sum + row[x]);
    }
    return maxSum;
}

int main()
{
    int N;
    cout << "Enter the array length: ";
    cin >> N;
    int arr[N];
    cout << "Enter the array: ";
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        cin >> arr[i];
    }
    cout << "The Max Sum is: "<<kadane(arr, N) << endl;
    return 0;
}

2D Kadane Algorithm

??由于我们这一题是二维矩阵，并不是一维数组。因此，要将 kadane 算法扩展到2维上。同样作者也推荐了一个视频，是位印度哥们，讲解的非常好。视频在 YouTube 上，地址：https://www.youtube.com/watch?v=yCQN096CwWM，保证听几遍就懂。
??下面我就他讲解的，用 Excel 表格展示这个二维 kadane 算法的过程。

??如图下面所示的矩阵，黄色黄色部分，$4 \times 5$ 的大小。先定义几个变量：
??1. 变量 $L$ : 代表遍历时，当前子矩阵的左边位置；
??2. 变量 $R$ : 代表遍历时，当前子矩阵的右边位置；
??3. 右边浅绿色，与矩阵的 $row数$ 相同的临时存储区，是将当前的 $L$ 列、$L+1$ 列、……、$R-1$ 列、$R$ 列，进行列相加，然后再用 kadane 算法判断相加得到的列数组（此时即为一维数组了，可以用一般意义上的 kadane 算法），求此时元素连续和最大的子数组，并与之前的最大值进行比较（这一点会在下面的过程中体现出来）；
??4. 变量 $currentSum$ : 当前 $L、R$ 组成的子矩阵（注意：这个子矩阵的“行数量“与原来大矩阵相同），其中这个矩阵的子矩阵，产生的最大的和；
??5. 变量 $maxSum$ : 纪录目前遍历下来的最大的子矩阵和；
??6. 变量 $maxLeft$ : 纪录目前遍历下来的最大子矩阵的左边位置；
??7. 变量 $maxRight$ : 纪录目前遍历下来的最大子矩阵的右边位置；
??8. 变量 $maxUp$ : 纪录目前遍历下来的最大子矩阵的上面位置；
??9. 变量 $maxDown$ : 纪录目前遍历下来的最大子矩阵的下面位置；
??注意：如果 $currentSum$ 不大于 $maxSum$，则保持 $maxSum、maxLeft、maxRight、maxUp、maxDown$ 这几个变量值不变。

??第一次遍历，$L、R$ 都在矩阵的开始 0 处：

??第二次遍历， 此时将 $R$ 向右移动一个位置到 1 处，保持 $L$ 位置不变。将 $L、R$ 两行之间的矩阵进行列相加，得到 $3 \ 6 \ 0 \ 0$，求这个 $3 \ 6 \ 0 \ 0$ 序列的和最大子序列。
??很容易看出，最大值为9，所以 $currentSum$ 为9，那么发现9比之前的 $maxSum = 4$ 要大，所以，此时将 9 给 $maxSum = 9$。$maxLeft = 0$ 纪录此时的 $L = 0$，$maxRight = 1$ 纪录此时的 $R = 1$，$maxUp$ 纪录此时最大子序列的上面开始位置：$maxUp = 0$，$maxDown$ 纪录此时最大子序列的下面结束位置：$maxDown = 1$：

??第三次遍历：

??第四次遍历：

??第五次遍历：

??第六次遍历：

??第七次遍历：

??第八次遍历：

??第九次遍历：

??第十次遍历：

??第十一次遍历：

??第十二次遍历：

??第十三次遍历：

??第十四次遍历：

??第十五次遍历：

??经过十五次的遍历后，我们终于找到了这个矩阵，就是上图中红色区域部分。这个大矩阵（$4 \times 5$） 的最大元素和为18。

??这就是2D kadane算法的过程。这个算法的空间复杂度为: $O(row)$，时间复杂度为：$O(column \times column \times row)$

Find the max sum no more than K

??解决了如何寻找子矩阵的最大和问题，现在题目中还有一个限制。就是这个和不能大于给定的 $K$，这个作者也推荐了Quora上的一个帖子：Given an array of integers A and an integer k, find a subarray that contains the largest sum, subject to a constraint that the sum is less than k?。回答这个问题的人也是一位大神。