某点导数大于零，含此点开区间内却非单调增函数

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我们曾在帖子讨论过，一个连续函数可导但是导函数不连续的一个例子：

http://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/p/5426699.html

此函数为$g(x)=x^{2}\sin \left(\frac{1}{x}\right)$,补充定义$g(0)=0$. 可计算得$g‘(0)=0$

我们定义函数

$$f(x)=\epsilon x+x^{2}\sin \left(\frac{1}{x}\right)$$

补充定义$f(0)=0$.则

$$f‘(0)=\epsilon$$

取$1>\epsilon>0$, 当$x\neq 0$时，

$$f‘(x)=\epsilon+2x\sin \left(\frac{1}{x}\right)-\cos \left(\frac{1}{x}\right)$$

取$x_{k}=\frac{1}{k\pi}$,

$$f‘(x_{k})=\epsilon-(-1)^{k}, k=1,2,3,\cdots$$

因此, 包含零的区间导数符号无法取得一致，非单调函数。

问题：此函数极值点如何？

某点导数大于零，含此点开区间内却非单调增函数

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原文地址：http://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/p/5631731.html