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【025-数字三角形 】【工程下载>>>】

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1 题目描述

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    7
   3 8
  8 1 0
 2 7 4 4
4 5 2 6 5

　　如上图所示，从一个数字三角形的顶部走到底部有很多条不同的路径，规则是只能从当前节点走到下一层相邻的节点，即下一层的左边或右边。例如第三行第二个数字“1”只能走到第四行的第二个数字“7”与第三个数字“4”。
　　请寻找最佳一条路径，使得这条路径上节点的数字总和最大。

1.1 输入描述:

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　　输入包含多组。每组数据的第一行包含一个正整数n（1≤n≤100），代表三角形的层数。
　　紧接着有n行数字，第i（1≤i≤n）行包含i个自然数。

1.2 输出描述:

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　　对应每组数据，输出最大的和。

1.3 输入例子:

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    7
   3 8
  8 1 0
 2 7 4 4
4 5 2 6 5

1.4 输出例子:

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2 解题思路

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　　将示例的输入转换成二维数组。如图1所示。

　　图1　数据流动图
　　根据意思和图1分分析，本题可以使用动态规划解决。设有待求最大值的矩阵matrix，它有n行，第i行最多i列，每个元素的值都是正数。第i（从1开始计算）行第j（从1开始计算）列对应到matrix的位置为matrix[i-1][j-1]。
第一列，它的第一行只有一个元素，它的最大值就是其自身，对于其它行，第一列的最大值等于它上一个元素的最大值加上当前值。对象线上的元素，除第一个元素外，其它元素的最大值等于它的左上角元素的最大值和当前值的和。最后对矩阵中的其它元素，其最大值等于左上角元素的最大值和上方元素的最大两都取较大的，再和当前值相加。对于matrix[i][j]有递推方程

$$matrix[i][j]= \begin{cases} matrix[i][j] & i=0 \; and \; j=0 \matrix[i-1][j]+matrix[i][j] & i>0 \; and \; j=0 \(matrix[i-1][j-1]+matrix[i][j] & i=j>0 \max \left \lbrace matrix[i-1][j-1],matrix[i-1][j] \right \rbrace+matrix[i][j] & i>j>0 \end{cases}$$
　　最后，要求出matrix中的最大值只要遍历最后一列，它们中的最大值就是所求的matrix的最大值。

3 算法实现

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import java.util.Scanner;

/**
 * Author: 王俊超
 * Time: 2016-05-13 17:06
 * CSDN: http://blog.csdn.net/derrantcm
 * Github: https://github.com/Wang-Jun-Chao
 * Declaration: All Rights Reserved !!!
 */
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
//        Scanner scanner = new Scanner(Main.class.getClassLoader().getResourceAsStream("data.txt"));
        while (scanner.hasNext()) {
            int n = scanner.nextInt();
            int[][] matrix = new int[n][];
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                matrix[i - 1] = new int[i];
                for (int j = 0; j < i; j++) {
                    matrix[i - 1][j] = scanner.nextInt();
                }
            }

            System.out.println(maxSum(matrix));
        }

        scanner.close();
    }

    /**
     * 找最大值
     *
     * @param matrix 正数对角矩阵
     * @return 最大值
     */
    private static int maxSum(int[][] matrix) {

        int row = matrix.length;

        // 第一个元素不用求最大值

        // 求第一列和对象线最大值
        for (int i = 1; i < row; i++) {
            matrix[i][0] += matrix[i - 1][0];
            matrix[i][i] += matrix[i - 1][i - 1];
        }


        // 最其它元素的最大值
        for (int i = 2; i < row; i++) {
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                matrix[i][j] += Math.max(matrix[i - 1][j - 1], matrix[i - 1][j]);
            }
        }

        int max = Integer.MIN_VALUE;

        // 找最大值
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            if (max < matrix[row - 1][i]) {
                max = matrix[row - 1][i];
            }
        }
        return max;
    }
}

4 测试结果

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5 其它信息

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因为markddow不好编辑，因此将文档的图片上传以供阅读。Pdf和Word文档可以在Github上进行【下载>>>】。