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欧拉函数
定义：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n)
比如：n = 8 时，有 1,3,5,7 与它互质，所以 φ(8) = 4
函数计算公式：φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) ，其中p1,p2,...,pn位n的质因子
易知，如果n为质数，一定有 φ(n) = n-1
函数的几个性质：
1、φ(1)=1
2、φ(pk)=pk−pk−1=(p−1)⋅pk−1，其中p为质数
3、φ(mn)=φ(m)⋅φ(n)，其中gcd(m,n)=1
欧拉定理：
若
为正整数，且互素（即
），则 
。
换种说法就是 a^ φ(n) % n 恒等于 1.
特别的，当n是质数的时候，上式就变成了
，它也叫费马小定理，但它是个单向定理，不能用这个同余证n是质数。
原根：
在
时，定义
对模
的指数 
为使 
成立的最小的正整数
。由欧拉定理知 一定小于等于 
，
若
，则称是模的原根。
m的原根个数正好为φ(φ(m)) （在m是素数情况下进一步知原根的个数是φ(m-1) ）
例：poj-1284 http://poj.org/problem?id=1284
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<cmath> 5 using namespace std; 6 #define N 1000005 7 int p[N]; 8 void fun(){ //素数表 9 int i, j, k; 10 memset(p, 0, sizeof(p)); 11 p[1] = 1; 12 for(i=2; i<=sqrt(N); i++){ 13 for(j=2; j<=N/i; j++){ 14 p[i*j] = 1; 15 } 16 } 17 } 18 int oula(int n){ 19 int i, j, r, a; 20 r = n; 21 a = n; 22 for(i=2; i<=sqrt(n); i++){ 23 if(!p[i]){ 24 if(a%i==0){ 25 r = r/i * (i-1); 26 while(a%i==0) 27 a /= i; 28 } 29 } 30 } 31 if(a>1) 32 r = r/a*(a-1); 33 return r; 34 } 35 36 int main(){ 37 int n; 38 while(cin>>n){ 39 // cout<<oula(oula(n))<<endl; //一般情况 40 cout<<oula(n-1)<<endl; //n为奇素数时 41 } 42 return 0; 43 }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/wudi-accept/p/5666664.html
