BZOJ4591——[Shoi2015]超能粒子炮·改

1、题意：求 $C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,k)\bmod2333$
2、分析：公式恐惧症的同学不要跑啊QAQ
根据lucas定理——
$answer = C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,k) \bmod 2333$
$=C(n/2333,0)*C(n \bmod 2333,0)+C(n/2333,0)*C(n \bmod 2333,1) + ... +C(n/2333,k/2333) * C(n \bmod 2333, k \bmod 2333)$
这一步大家都能懂吧，这是浅而易见的lucas定理转化过程，将每一项拆分成两项
那么下一步，我们将同类项合并
我们观察可以发现1..2332 / 2333都是0
那么我们将其中2332项提取出来变成
$C(n/2333,0)*(C(n\bmod2333,0)+...+C(\bmod2333,2332))$
同理，2333..4665 / 2333都是1，我们同样提出这个公因式
因此可以得到
$C(n/2333,1)*(C(n\bmod2333,0)+...+C(\bmod2333,2332))$
接下去，我们可以以的到达k/2333-1这里，都是类似的
那么我们提取$(C(n\bmod2333,0)+...+C(\bmod2333,2332))$，得到
$(C(n/2333,0)+C(n/2333,1)+...+C(n/2333,k/2333-1))*(C(n\bmod2333,0)+...+C(\bmod2333,2332))$
我们完成了一部分，那么剩下的还有k/2333的这一部分，我们依旧提取公因式
$C(n/2333,k/2333)*(C(n\bmod2333,0) +...+C(n\bmod2333,k\bmod2333))$
那么我们令$sum(i,j)$ 为 $C(i,0)+C(i,1)+...+C(i,j)$
我们可以得到最终答案的式子

我们观察这个式子$(∑C(n/2333,j)(0≤j<k/2333))$，他简直就是这个问题的简化版
那么这个式子其实是等于$ans(n/2333,k/2333-1)$ 的，十分浅显易懂，那么我们就可以将此题不断的缩小再缩小，注意那个C数组和sum数组都预处理出来，只预处理小于2333的，太大的C用lucas定理解决，完美解决，撒花！

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define M 2500
#define MOD 2333 
#define LL long long

inline int read(){
    char ch = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘){
        if(ch == ‘-‘) f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(‘0‘ <= ch && ch <= ‘9‘){
        x = x * 10 + ch - ‘0‘;
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}

inline LL llread(){
    char ch = getchar(); LL x = 0, f = 1;
    while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘){
        if(ch == ‘-‘) f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(‘0‘ <= ch && ch <= ‘9‘){
        x = x * 10 + ch - ‘0‘;
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}

int c[M][M], sum[M][M];  

inline void init(){
    c[0][0] = sum[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i < MOD; i ++) sum[0][i] = 1;
    for(int i = 1; i < MOD; i ++){
        sum[i][0] = c[i][0] = 1;
        for(int j = 1; j <= i; j ++) c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % MOD;
        for(int j = 1; j < MOD; j ++) sum[i][j] = (sum[i][j - 1] + c[i][j]) % MOD;
    }
}


inline int Lucas(LL x, LL y){
    if(x < y || y < 0) return 0;   
    if(x < MOD && y < MOD) return c[x][y];  
    return Lucas(x / MOD, y / MOD) * c[x % MOD][y % MOD] % MOD;  
}  

inline int cal(LL n, LL k){
    if(k < 0) return 0;  
    return (cal(n / MOD,k / MOD - 1) * sum[n % MOD][MOD - 1] % MOD + Lucas(n / MOD, k / MOD) * sum[n % MOD][k % MOD] % MOD) % MOD;  
}  

int main(){
    init();
    int T = read();
    while(T --){
        LL n = llread(), k = llread();
        printf("%d\n", cal(n, k));
    }
    return 0;
}