树（Tree）

基本概念

树（tree）是n( $n \ge 0$ )个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一棵非空树中：（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；（2）当 $n \gt 1$ 时，其与结点可分为m( $m \gt 0$ )个互不相交的有限集 $T_1,T_2,...,T_m$，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。

结点分类

结点拥有的子树数称为结点的度（Degree）。度为0的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点。除根结点外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。

结点间关系

结点的子树的根称为该结点的孩子（Child），相应地，该结点成为孩子的双亲（Parent）。同一个双亲的孩子之间互称兄弟（Sibling）。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点，反之，以某结点为根的子树的任一结点都称为该结点的子孙。

其他相关概念

结点的层次（Level）从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。双亲在同一层的结点互称为堂兄弟。树中结点的最大层次成为树的深度（Depth）或高度。

若树中结点的各子树堪称从左导游是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。

森林（Forest）是m( $m \ge 0$ )棵互不相交的树的集合。

下面比较线性结构和树结构，具体如下：

树的抽象数据类型

相比于线性结构，数的操作大不相同，下面给出一些基本和常用操作：

ADT 树（Tree）
Data 
   树是由一个根结点和若干子树构成。树中节点具有相同数据类型及层次关系。
Operation
   InitTree(*T):构造空树T。
   DestoryTree(*T):销毁树T。
   CreateTree(*T，definition):按definition中给出树的定义来构造树。
   ClearTree(*T):若树T存在，则将树T清为空树。
   TreeEmpty(T):若树T为空树，返回true，否则返回false。
   TreeDepth(T):返回T的深度。
   Root(T):返回T的根结点。
   Value(T,cur_e):cur_e是树T中的一个结点，返回此结点的值。
   Assign(T,cur_e,value):给树T的结点cur_e赋值为value。
   Parent(T,cur_e):若cur_e是树T的非根节点，则返回它的双亲，否则返回空。
   LeftChild(T,cur_e):若cur_e是树T的非叶结点，则返回它的最左孩子，否则返回空。
   RightSibling(T,cur_e):若cur_e有右兄弟，返回它的右兄弟，否则返回空。
   InsertChild(*T，*p,i,c):其中p指向树T的某个结点，i为所指结点p的度加上1，非空树c与T不相交，操作结果为插入c为树T中p指结点的第i棵子树。
   DeleteChild(*T，*p,i):其中p指向树T的某个结点，i为所指结点p的度，操作结果为删除T中p所指结点的第i棵子树。

树的存储结构

先说顺序存储结构，用一端地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素，对于线性表来说很自然，但是针对树这样一对多的结构呢？树种某个结点的孩子可以有多个，这就是无论按何种顺序将树中所有节点存储到数组中，结点的存储位置都无法直接反映逻辑关系，简单的顺序存储结构是不能满足树的实现要求的。

不过可以充分利用顺序存储和链式存储结构特点，完全可以实现对树的存储结构的表示。下面介绍三种不同的表示法：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法。

双亲表示法

假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置。也就是说，每个结点除了存储自身信息外，还指示了双亲的位置。其中data是数据域，存储结点数据信息，而parent是指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标。下面，结点结构定义代码如下：

/*树的双亲表示法结点结构定义*/
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int TElemType;  //树结点的数据类型，暂定为整型
typedef struct PTNode{  //结点结构
   TElemType data;  //结点数据
   int parent;  //双亲位置
}PTNode；
typedef struct{  //树结构
   PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];  //结点数组
   int r,n;  //根的位置和结点数
}PTree;

根结点没有双亲，所以约定根结点的位置域设置为-1，其他结点都存有双亲位置。可以根据结点的parent指针方便地找到其双亲结点，时间复杂度为$O(1)$，直到parent为-1时，表示找到根结点的根，但是要遍历整个结构才能找到结点的孩子。

这样很麻烦，改进一下，增加一个结点最左边孩子的域，也叫长子域，这样就很方便找到结点的孩子，若没有孩子的结点，长子域设置为-1。

当然，也很关注各兄弟间的关系，可以增加一个右兄弟域来体现兄弟关系，若结点存在右兄弟，则记录右兄弟下标，否则赋值为-1。

存储结构的设计是一个非常灵活的过程。一个存储结构设计得是否合理，取决于基于该存储结构的运算是否合适、是否方便，时间复杂度好不好等。

孩子表示法

每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一棵子树的根结点，我们把这种方法叫做多重链表表示法。

孩子表示法：把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中。

孩子链表的孩子结点中child是数据域，用于存储某个节点在表头数组中下标。next是指针域，用于存储指向某结点的下一个孩子结点的指针。

表头数组的表头结点，其中data是数据域，存储某结点的数据信息。firstchild是头指针域，存储该结点的孩子链表的头指针。

以下面的树为例，其孩子表示法如下：

孩子表示法的结构定义代码：

/*树的孩子表示法结构定义*/
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef struct CTNode{ //孩子结点
   int child;
   struct CTNode *next;
}*ChildPtr;
typedef struct{ //表头结构
   TElemType data;
   ChildPtr firstchild;
}CTBox;
typedef struct{  //树结构
   CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];  //结点数组
   int r,n;  //根位置和结点数
}CTree;

这样的结构无论是查找某个结点的某个孩子或查找某个结点的兄弟，只需要查找这个结点的孩子单链表即可，对于遍历整棵树也是很方便的，对头结点的数组循环即可。但是也存在问题，结点的双亲查找比较麻烦，可以将双亲表示法和孩子表示法综合。如下图所示，双亲孩子表示法：

孩子兄弟表示法

任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。

结构定义如下：

/*树的孩子兄弟表示法结构定义*/
typedef struct CSNode{
   TElemType data;  //数据域
   //firstchild为指针域，存储该结点的第一个孩子结点的存储地址，rightchild为指针域，存储该结点的右兄弟结点的存储地址。
   struct CSNode *firstchild,*rightchild;  
}CSNode,*CSTree;

小结：这种表示法，查找某个结点的某个孩子可以通过firstchild找到此结点的长子，再通过长子结点的rightsib找到其二弟，接着一直下去，直到找到具体的孩子，这个表示法最大的好处就是将一棵复杂的树变成一棵二叉树。当然，若想找某结点的双亲，这个表示也有缺陷。当然，完全可以再增加一个parent指针域来解决快速查找双亲的问题。