自助法在分散式投资策略中的应用

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先用人话来描述一下这个问题：有两个收益不固定的投资项目，如何将一笔固定的金额分开投资，才能使总投资风险最小？

再用数学语言来描述一下这个问题，对于两个收益分别为X和Y的金融资产，X、Y为随机变量，把比例为α的金额投到X上，把剩下比例为1-α的金额投到Y中，使Var(αX+(1-α)Y)最小。根据方差的性质、协方差的定义以及极值的导数意义进行转化并求导，可以很easy地得到：

其中

如果知道总体X、Y的分布，那么可以直接求出α，但事实上往往不知道，只有样本。这个时候就需要根据样本来估计α，但α的估计值真的靠谱么？显然只给出一个数字是不行的。如果α的估计值自身都很不稳定，那就这种计算方法也就不靠谱了。

这里介绍一种重抽样方法：自助法（bootstrap）。这里直接引用CSDN上老子今晚不加班 的《Bootstrap 自助法》中的定义：

在统计学中，自助法（BootstrapMethod，Bootstrapping或自助抽样法）可以指任何一种有放回的均匀抽样，也就是说，每当选中一个样本，它等可能地被再次选中并被再次添加到训练集中。自助法能对采样估计的准确性（标准误差、置信区间和偏差）进行比较好的估计，它基本上能够对任何采样分布的统计量进行估计。

Bootstrap有两种形式：非参数bootstrap和参数化的bootstrap，但基本思想都是模拟。参数化的bootstrap假设总体的分布已知或总体的分布形式已知，可以由样本估计出分布参数，再从参数化的分布中进行再采样，类似于MC。非参数化的bootstrap是从样本中再抽样，而不是从分布函数中进行再抽样。

总而言之，bootstrap是一种可放回式抽样法，当进行大量这种抽样时，可以对估计量的统计量（方差、标准差、标准误差、置信区间等）有一个较为稳定、准确的估计。

这里以R的 ISLR 包中的 Portfolio 数据集为例，以之为样本，进行自助法重抽样，观察根据样本重抽样计算的α的估计量。

老规矩，先看一下数据集：

> library(ISLR)
> str(Portfolio)
‘data.frame‘:    100 obs. of  2 variables:
 $ X: num  -0.895 -1.562 -0.417 1.044 -0.316 ...
 $ Y: num  -0.235 -0.885 0.272 -0.734 0.842 ...

可见数据框100行，两列X、Y都是数值型。

先计算一下根据样本中所有的观测数据求得的α。

> # 求α的函数
> alpha=function(x,y){
+   vx=var(x)
+   vy=var(y)
+   cxy=cov(x,y)
+   (vy-cxy)/(vx+vy-2*cxy)
+ }
> alpha(Portfolio$X,Portfolio$Y)
[1] 0.5758321

再来求α的估计值。

> # 求α估计值的函数
> alpha.fn=function(data, index){
+   with(data[index,],alpha(X,Y))
+ }
> # 检查一下是否与上面结果一致
> alpha.fn(Portfolio,1:100)
[1] 0.5758321
> # 结果一致

下面进行重抽样。

> # 设定随机数种子
> set.seed(1)
> # 可放回抽100个样本
> alpha.fn (Portfolio,sample(1:100,100,replace=TRUE))
[1] 0.5963833
> # 可放回抽1000个样本
> alpha.fn (Portfolio,sample(1:100,100,replace=TRUE))
[1] 0.5796283

可见，当抽样容量更大时，α的估计值与实际值更接近。

不过当然不必自定义函数，自己去抽样计算，R肯定有自带的bootstrap方法的函数。

> boot.out=boot(Portfolio,alpha.fn,R=1000)
> boot.out

ORDINARY NONPARAMETRIC BOOTSTRAP

Call:
boot(data = Portfolio, statistic = alpha.fn, R = 1000)

Bootstrap Statistics :
     original       bias    std. error
t1* 0.5758321 4.879587e-06  0.08872272

boot() 函数输入数据集，欲计算的估计量，以及抽样次数就可以进行bootstrap抽样。从结果上来看，对于原始数据，样本α估计值为0.5758（由于随机性，与上面的结果略有差异），标准误为0.0887。

还可以对估计量进行可视化，观察α估计量的分布。

> plot(boot.out)

可见α估计量正态性良好。

bootci() 函数可用来求估计量的置信区间。

> boot.ci(boot.out)
BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
Based on 1000 bootstrap replicates

CALL : 
boot.ci(boot.out = boot.out)

Intervals : 
Level      Normal              Basic         
95%   ( 0.4019,  0.7497 )   ( 0.3909,  0.7440 )  

Level     Percentile            BCa          
95%   ( 0.4076,  0.7607 )   ( 0.4107,  0.7617 )  
Calculations and Intervals on Original Scale
Warning message:
In boot.ci(boot.out) : bootstrap variances needed for studentized intervals

结果中的4种置信区间是根据不同的方法计算出来的，差别不大，按需取之即可。

这下不仅能给出α的估计值，还能给出标准误和置信区间，有理有据，令人信服。

参考文献

Gareth James et al. An Introduction to Statistical Learning.

老子今晚不加班，《Bootstrap 自助法》，CSDN.