正整数的n次方求和

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[b]引理: [/b](Abel分部求和法)

$$\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=A_{n}b_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})$$
其中$A_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$.

[b]结论 1[/b]:
$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{k(k+1)}{2}$$
[b]结论 2[/b]:
$$\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
证明: 由分部求和公式得
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\sum_{k=1}^{n}k\cdot k&=\frac{n^{2}(n+1)}{2}-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1}(k^{2}+k)\\
&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{4}-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}k^{2}
\end{align*}
移项整理便得结论2.

[b]结论 3:[/b]
$$\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}$$
证明: 由分部求和公式得
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\sum_{k=1}^{n}k^{2}\cdot k&=\frac{n^{2}(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1}k(k+1)(2k+1)\\
&=\frac{n^{2}(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}k^{3}-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1}k^{2}-\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1}k+\frac{n^{3}}{3}
\end{align*}
由结论1 结论2便得结论3.

用此方法可得任意$\alpha$为整数, 和式
$$\sum_{k=1}^{n}k^{\alpha}$$
的表达式.

正整数的n次方求和

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