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《编程之法》1.3字符串的全排列,组合,重复排列,八皇后问题

时间:2016-07-15 21:54:51      阅读:327      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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题目描述:输入一个字符串,打印出该字符串中字符的所有排列,例如输入"abc",输出"abc","acb","bac","bca","cab","cba"

解法一:递归实现
类似于图的深度遍历搜索求全路径的算法,每次交换两个数,并输出,按照递归的方法,如求abcd的全排序,1:先求abcd后面的bcd全排列(同样先求b后面cd的全排列,然后b与后面的元素依次交换);2:求ab交换后的bacd后面的acd全排列(同样先求a后面cd的全排列,然后a与后面的元素依次交换);3:先ac交换后的cbad后面的bad全排列(同样先求b后面ad的全排列,然后b与后面的元素依次交换);4:求ad交换后的dbca后面的bca全排列(同样先求b后面ca的全排列,然后b与后面的元素依次交换)。
时间复杂度为O(n!)。

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

void AllPermutation(string &str, int start, int end){
	if(start == end){
		cout << str << endl;
		return;
	}
	int i;
	for(i = start; i <= end; i++){
		swap(str[start], str[i]);
		AllPermutation(str, start+1, end);
		swap(str[start], str[i]);
	}
}

int main(){
	string str;
	while(cin >> str){
		if(str.size() == 0)//字符串长度为0直接返回
			break;
		AllPermutation(str, 0, str.size()-1);
	}
	return 0;
}
解法二:按字典序排列
如输出zaf的全排列,先sort排序为afz,然后按字典序依次输出:afz, azf, faz, fza, zaf, zfa。时间复杂度为O(n!)。
求当前字符串的下一个字典序字符串的算法思路:(以967812543为例)
1,找出排列中最后一个连续升序序对的首位位置i;如上面的67,78和12,25都为升序序对,其中25为最后一个升序子序列,故所求i为2所在的下标5。
2,找出排列中i位置之后的最后一个比ai大的位置j;如上面的i=5,ai=2,则i右边比ai大的有5,4,3,选择最后一个比ai大的位置,即j为3所在的下标8。
3,交换i和j所对应的元素,之后将第i+1位到最后的部分翻转,这是因为i是最后一个升序序对首位置,则后面的必定全部是降序排列;如上面先交换2和3,变为967813542,在将下标6开始的剩余子串逆置,变为967813245。

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;

void AllPermutation(char *str, int num){
	int i, j;
	//输出当前序列
	for(i = 0; i < num; ++i)
		cout << str[i];
	cout << endl;
	//寻找下一字典序序列
	//寻找i
	for(i = num-2; i >= 0; --i)
		if(str[i] < str[i+1])
			break;
	//递归结束条件:跳出递归,说明此时str中字符串完全降序
	if(i < 0)       
		return;
	//寻找j
	for(j = num-1; j >= i+1; --j)
		if(str[j] > str[i])
			break;
	//交换i,j所对应元素,并将下标i后面的字符串逆置
	swap(str[i], str[j]);
	reverse(str+i+1, str+num); //和sort函数一样为标准函数模板调用
	AllPermutation(str, num);
}

int main(){
	char str[110];
	while(cin >> str){
		int num = 0;
		while(str[num]) ++num; //注意别写成while(str[num++]);
		if(num == 0)//字符串长度为0直接返回
			break;
		sort(str, str+num);//注意要先排序
		AllPermutation(str, num);
	}
	return 0;
}


举一反三:

1,字典序的所有排列:已知输入字符串的各个字符是不同的,按照字典序输出它的所有组合。如输入aa,则输出aa,ab,ba,bb。
解法一:
先分析abc: 输出aaa,aab,aac,aba,abb,abc,aca,acb,acc,baa......,可以分析一下规律
先分配一个数组ans[]存放新字符串,同样运用递归,递归的临界条件是输出字符串中所有字符都相等,且该字符为原字符串最大的那个字符,也先要sort原字符串str[],很显然第一个ans全由最小的字符组成,如ans[] = {a,a,a...a}。
如何求当前字符串的下一字典序字符串:
先在str[]中设置一个全局升序指针j用于循环向右移动,赋初值指向str[]中第二个字符
a,若ans[]的最后一个元素小于str[n-1](字符串中最大元素),交换str[j]和ans[num-1],之后j前移并进入下次递归;如aab变为aac,aba变为abb
b, 若ans[]的最后一个元素等于于str[n-1],则可调用一个自定义函数,函数的作用是指针i指向ans[]最后一个位置,使i所指元素ans[]变为str[0],并令指针i前移,若ans[i]仍然等于str[i-1],令其等于str[0]后,则继续前移至ans[i]<str[i-1],此时将str[i]赋值成一个稍微比他大的那个字符,并且此时重新令j=0;如acc变为baa。
算法复杂度,由于需要输出n^n个结果,且每次递归都要遍历一次数组,则时间复杂度为O(n^n*n) = O(n^n)。

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;
int j;
char str[110], ans[110];

void Access(int cur, int num){
	while(ans[cur] == str[num-1]){
		ans[cur] = str[0];
		--cur;
	}
	int i;
	for(i = 0; i < num; i++)
		if(ans[cur] == str[i])
			break;
	ans[cur] = str[i+1];
	j = 0;
}
void AllPermutation(int num){
	int i;
	//先输出当前字符串
	for(i = 0; i < num; ++i)
		cout << ans[i];
	cout << endl;
	//临界条件
	int flag = 0;
	for(i = 0; i < num; ++i)
		if(ans[i] != str[num-1])
			flag = 1;
	if(!flag)
		return;
	//交换ans[num-1],str[j]
	if(ans[num-1] < str[num-1])
		ans[num-1] = str[j];
	else
		Access(num-1, num);
	++j;
	if(j == num)
		j = 0;
	AllPermutation(num);
}

int main(){
	while(cin >> str){
		int num = 0;
		while(str[num]) ++num; //注意别写成while(str[num++]);
		if(num == 0)//字符串长度为0直接返回
			break;
		sort(str, str+num);
		int i;
		for(i = 0; i < num; ++i)
			ans[i] = str[0];
		j = 1;
		AllPermutation(num);
	}
	return 0;
}

2,字符的所有组合:如输入“abc”,输出"a","b","c","ab","ac","bc","abc"。

解法一:我们要分开求长度为1的组合,长度为2的组合,...,长度为n的组合。先考虑其中一种情况,如长度为k时的情况,这个时候我们又可以分为两种情况进行考虑:
a, 如果组合里包含第一个字符,则从所有剩余n-1个字符中选取k-1个字符;
b, 如果组合中不包含第一个字符,则从剩余的n-1个字符中选取k个字符。
这可以使用递归方式解决,使用vector来保存已加入当前组合的值,如下,记住Combination这个模式(临界判断-->输出并返回-->加入当前字符并递归-->去掉当前字符并递归),该模式在求多个数相加等于固定数时也会用到。
有两种返回条件:1,如1,2,3,4,5中当求长度为3的组合时,此时vector只收集了4,5,很显然再递归会造成下标溢出;2,正好某次递归中k==0,数组中可能还有字符也可能正好没有了,此时并直接输出,若正好此时pos=num-1,再次递归也会造成下标溢出,最好是返回。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
vector<char> result;
int num;
void Combination(char *str, int pos, int k){
	if(pos == num && k != 0)//有两种返回条件:临界条件
		return;
	if(k == 0){
		vector<char>::iterator iter = result.begin();
		for( ; iter < result.end(); ++iter)
			cout << *iter;
		cout << endl;
		return; //此时也需返回,否则str[pos]=str[num]可能未定义
	}
	result.push_back(str[pos]);
	Combination(str, pos+1, k-1); //从字符串下标pos+1起的后面选择剩余的k-1个字符
	result.pop_back();
	Combination(str, pos+1, k); //从字符串下标pos+1起的后面选择剩余的k个字符
}

int main(){
	char str[110];
	while(cin >> str){
		num = 0;
		while(str[num]) num++;
		if(num == 0) break;
		int i;
		for(i = 1; i <= num; ++i)
			Combination(str, 0, i);
	}
	return 0;
}
解法二:以abc为例,若三个字符a,b,c分别对应一个二进制数的第0,1,2位,则可用二进制001代表"a",二进制010代表"b",二进制011代表"ab",二进制100代表"c",...111代表"abc",换句话说,1~7中的任何一个数字正好对应原字符串的一个组合。
根据数学知识:长度为n的字符串的组合数 = C1/n + C2/n + ... + Cn/n = 2^n - C0/n = 2^n - 1;,故只需对1~2^n-1的数进行遍历,对于该范围的某个k,分析它的二进制位在0~n-1位有哪些为1,则输出str[]中对应的字符;哪些为0,则跳过。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
void Combination(char *str, int n){
	int num = (int)pow(2.0, n) - 1;
	int i, j;
	for(i = 1; i <= num; ++i){
		for(j = 0; j < n; j++){
			if(i & (1 << j)) //注意:&是按位与,&&是逻辑与(整体逻辑判断)
				cout << str[j];
		}
		cout << endl;
	}
}

int main(){
	char str[110];
	while(cin >> str){
		int n = strlen(str);
		Combination(str, n);
	}
	return 0;
}


相关题目:

1,求正方体对面顶点和相等数组:输入一个含有8个数字的数组分别置于正方体的8个顶点上,使得正方体三组相对的面上的4个顶点和都相等,即:
a1+a2+a3+a4=a5+a6+a7+a8; a1+a3+a5+a7=a2+a4+a6+a8; a1+a2+a5+a6=a3+a4+a7+a8。
解法:对这8个数全排列,对每个全排列进行条件判断,判断成立则输出,否则什么也不做。

技术分享

#include <iostream>
using namespace std;
bool IsEqual(int nums[]){
	int sum1 = nums[0] + nums[1] + nums[2] + nums[3];
    int sum2 = nums[4] + nums[5] + nums[6] + nums[7];
    int sum3 = nums[0] + nums[2] + nums[4] + nums[6];
    int sum4 = nums[1] + nums[3] + nums[5] + nums[7];
    int sum5 = nums[0] + nums[1] + nums[4] + nums[5];
    int sum6 = nums[2] + nums[3] + nums[6] + nums[7];
    if(sum1 == sum2 && sum3 == sum4 && sum5 == sum6)
        return true;
    else
        return false;
}

void AllPermutation(int *nums, int start, int end){
	if(start == end){
		if(IsEqual(nums)){
			int i;
			for(i = 0; i <= end; ++i)
				cout << nums[i] << " ";
			cout << endl;
		}
		return;
	}
	int i;
	for(i = start; i <= end; i++){
		swap(nums[start], nums[i]);
		AllPermutation(nums, start+1, end);
		swap(nums[start], nums[i]);
	}
}

int main(){
	int nums[110], n;
	while(cin >> nums[0]){ //输入8个数表示正方体的8个顶点
		int i;
		for(i = 1; i <= 7; ++i)
			cin >> nums[i];
		AllPermutation(nums, 0, 7);
	}
	return 0;
}
2,八皇后问题
问题描述: 在8 X 8的国际象棋上摆放八个皇后,使其不能相互攻击,即任意两个皇后不得处于同一行,同一列或者同一对角线上,求出所有符合条件的摆法。
问题分析: 任意两个皇后不得处于同一行,由此可得每个皇后都单独占据一行。我们可以定义一个数组ColumnIndex[8],其中ColumnIndex[i]表示处在第i行位置的那个皇后对应在ColumnIndex[i]列,例如ColumnIndex1 = 3 表示处在第1行的皇后在第3列上。 接下来,分别用0~7这8个数字对ColumnIndex进行初始化。注意,此时所有的皇后不同行也不同列。 因此,我们只需要对ColumnIndex数组进行全排列,判断每一个排列所对应的8个皇后的位置是否在对角线上即可。

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
bool IsNoDiag(int *nums){
	int i, j;
    for(int i = 0; i < 8; i++){
        for(int j = i + 1; j < 8; j++){
            if(i - j == nums[i] - nums[j] || i - j == nums[j] - nums[i])
				return false;
		}
	}
    return true;;
}

void AllPermutation(int *nums, int start, int end){
	//临界条件
	if(start == end){
		if(IsNoDiag(nums)){
			int i;
			for(i = 0; i <= end; ++i)
				cout << "(" << i << ", " << nums[i] << ")" << " ";
			cout << endl;
		}
		return;
	}
	//下次递归
	int i;
	for(i = start; i <= end; ++i){
		swap(nums[start], nums[i]);
		AllPermutation(nums, start+1, end);
		swap(nums[start], nums[i]);
	}
}

int main(){
	int nums[8] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
	AllPermutation(nums, 0, 7);
}
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《编程之法》1.3字符串的全排列,组合,重复排列,八皇后问题

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原文地址:http://blog.csdn.net/qibofang/article/details/51920444

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