ACM知识点 之 贪心（1）理论初探

等待了一年时间，这个系列的坑终于又开始填了……

不说废话，直接开始正题。

1.何为贪心？

贪心算法实际上指的是把问题划分成一个一个的子问题，然后针对当前的子问题，求出局部最优解，然后将子问题的最优解合并，最终获得总问题的最优解。 
值得注意的是，在对问题求解时，贪心算法总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，它做出的仅是在某种意义上的局部最优解。

P.S：贪心子问题是独立的，有区别于动态规划（这个以后讨论动规的时候再聊）。

2.如何判断贪心

从上面这段话中不难看出，一个问题能够通过贪心来获取最优解的前提是：

1. 问题可以被划分成多个子问题。
2. 证明可以通过子问题的最优解可以获得最终的最优解。
3. 子问题必须具有无后效性，也就是说，当前问题的求解的过程并不会影响之前的子问题的结果。

3.贪心策略的制定

1.制定最优解策略，从最初状态开始。 
2.循环解决子问题，逐步缩小问题规模。针对每一个子问题，都运用局部最优解策略获取结果。 
3.对每个子问题的解进行处理，获得最终结果

贪心问题的求解代码都不会很长，但是对于贪心策略的制定确是要费点心力。 
一般来说，多用点数据验证验证，就能减少很多不必要麻烦。

下面让我们来看一个问题：

问题来源：NYOJ 71

                            独木舟上的旅行
                时间限制：3000 ms  |  内存限制：65535 KB
                              难度：2

描述 
进行一次独木舟的旅行活动，独木舟可以在港口租到，并且之间没有区别。一条独木舟最多只能乘坐两个人，且乘客的总重量不能超过独木舟的最大承载量。我们要尽量减少这次活动中的花销，所以要找出可以安置所有旅客的最少的独木舟条数。现在请写一个程序，读入独木舟的最大承载量、旅客数目和每位旅客的重量。根据给出的规则，计算要安置所有旅客必须的最少的独木舟条数，并输出结果。

输入 
第一行输入s,表示测试数据的组数； 
每组数据的第一行包括两个整数w，n，80<=w<=200,1<=n<=300，w为一条独木舟的最大承载量,n为人数； 
接下来的一组数据为每个人的重量（不能大于船的承载量）；

输出 
每组人数所需要的最少独木舟的条数。

样例输入 
3 
85 6 
5 84 85 80 84 83 
90 3 
90 45 60 
100 5 
50 50 90 40 60

样例输出 
5 
3 
3

下面让我们来分析一下这道题。 
n个人，每个人体重为arr[i]。船每次最多乘坐两个人，而且每次承载的体重不能超过w。求最少的渡船数。 
换种描述方式，也就是说，有n个数，要求划分为多个集合，每个集合最多有两个元素，且两个元素的和不能超过w。求最小的集合数。

那么这道题能不能用贪心来做呢？ 
首先我们来看

1.问题可以被划分成多个子问题。

显而易见，这是可以的。整个数列的划分过程可以分解为两个数的组合过程。

2.证明可以通过子问题的最优解可以获得最终的最优解。

这个也是可以理解的，对于这道题而言，两个数的组合过程的最优解就是两个数成功的组合成一个集合。而对于整个问题来说，最优解是尽可能多的让两个数进行组合。所以，通过子问题的最优解就可以得到整个问题的最优解。

3.子问题必须具有无后效性，也就是说，当前问题的求解的过程并不会影响之前的子问题的结果。

这个是显而易见的，当前进行组合的数都是未进行组合过的，所以肯定不会对之前的问题解造成任何影响。

现在我们知道了，这道题是可以通过贪心来做的，接下来的问题就是如何制定贪心策略。 
从题意中得出，组合的过程有三种情况： 
1. a+b <= w,那么判断a,b是不是最接近木船重量的，如果是可以划分到一个组里，从数组中删除a和b。如果不是，继续找。也就是说，优先进行a+b最大的进行组合 
2. a+b >= w,那么a,b不可以放进一个组里，两个数与其他数重新进行组合。 
3. 如果没有能与a进行组合的数字，则a自己成为一个集合，从数组中删除a；

那么我们可以用伪代码描述整个过程

for（从数组中遍历a）
{
    for（从数组中遍历b）
    {
        if（a+b<=w）
        {
            if(a+b最接近w)
            {
                标记b；
            }
        }
        else{
            什么也不做，继续下一个对比；
        }
    }

    if（b有标记）
    {
        从数组中删除a和b；
        总集合数+1；
    }
    if（没有能与a组合的数）
    {
        从数组中删除a；
        总集合数+1；
    }
}

详细代码如下：

/* 
************************************ 
    Title: NYOJ71--独木舟上的旅行
************************************ 
    Date：2015/07/18 
************************************ 
    author：刘旭 
************************************ 
Memory：232KB
Time：8ms
************************************ 
*/  
#include <stdio.h>

#define MAX 305

int main()
{
    int T = 0;
    scanf("%d", &T);    ///获取测试数据组数

    while(T--)
    {
        int weight_people[MAX]; ///记录每个人的体重的数组
        int vis[MAX];   ///记录每个人是否被删除的数据，vis[i] = 0表示这个人已经被运走，不能进行组合
        int weight = 0; ///船的最大载重数
        int num_people = 0; ///人的数量
        scanf("%d%d", &weight, &num_people);

        for(int i = 0; i < num_people; i++)
        {
            scanf("%d", &weight_people[i]); ///循环输入每个人的体重
            vis[i] = 1; ///标记每个人
        }

        int ans = 0;    ///总集合数

        for(int i = 0; i < num_people; i++)  ///循环遍历
        {
            if(0 == vis[i])     ///如果这个人被运走，计算下一个人
            {
                continue;
            }

            int key = -1;   ///判断是否有人组合
            int max = -2;   ///目前组合的体重

            for(int j = 0; j < num_people; j++)
            {
                if(0 == vis[j] || i == j)     ///如果这个人被运走或者和进行比对的人重复，计算下一个人
                {
                    continue;
                }

                if(weight_people[i] + weight_people[j] <= weight) ///如果装的下两个人
                {
                    if(weight_people[i] + weight_people[j] > max)   ///这两个人的体重最大
                    {
                        key = j;
                        max = weight_people[i] + weight_people[j];
                    }
                }
            }
            if(-1 != key) ///如果装的下两个人
            {
                vis[i] = vis[key] = 0;    ///标记这两个人
                ans ++; ///总集合数+1；
            }
            if(-1 == key)   ///没有能与a组合的人，独自上船
            {
                vis[i] = 0;
                ans++;
            }
        }

        printf("%d\n", ans);
    }
}

俗话说，生命不息，折腾不止。这道简单的题时间居然在8ms~ 

其实症结很简单，两个for循环闹得，时间复杂度O(n^2)。那么有没有什么方法可以简化呢，当然可以。 
这道题最关键的地方在于优先选择a+b最大的组合，那么我们就从这个方面入手。 
针对一个有序数列a[n],让里面元素按从小到大的顺序排列，则可知 a[1] <=a[2]<= a[3]…a[n-1]<=a[n]. 
则很容易推导 
1. a[n]+a[1] <= a[n]+a[x] (1< x < n) 
2. a[1]+a[n] >= a[1]+a[x] (1< x < n)

也就是说， 
1. 对于a[n]来说,如果a[1]+a[n]都不能小于w，那么他就不能与任何数相加小于w，只能一个数组成集合。 
2. 对于a[1]来说，如果a[n]不行，那就查看a[n-1]是否可以，如果这样能找到一个数a[x]，那么a[1]+a[x]一定是最接近w的值

所以我们可以写代码了

/* 
********************************** 
    Title: NYOJ71--独木舟上的旅行
********************************** 
    Date：2015/07/18 
**********************************
    author：刘旭
**********************************
Memory:232KB
Time:0ms
**/
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

#define MAX 305

int main()
{
    int T = 0;
    scanf("%d", &T);

    while(T--)
    {
        int weight_people[MAX];
        int vis[MAX];
        int weight = 0;
        int num_people = 0;
        scanf("%d%d", &weight, &num_people);

        for(int i = 0; i < num_people; i++)
        {
            scanf("%d", &weight_people[i]);
        }

        sort(weight_people, weight_people+num_people);

        int ans = 0;
        int pos_start = 0;
        int pos_end = num_people-1;
        while(pos_start <= pos_end)
        {
            if(weight_people[pos_start] + weight_people[pos_end] <= weight)
            {
                pos_end -= 1;
                pos_start += 1;
                ans += 1;
            }
            else
            {
                pos_end -= 1;
                ans += 1;
            }
        }

        printf("%d\n", ans);
    }
}

时间复杂度O(nlogn)，是不是很棒~