满步微积分五——速度和变化率

导数的概念与运动物体速度的计算密切相关。正是由于这一个事实，在牛顿努力寻找动力学定理并理解行星运动的思考中将微积分作为他基本的工具。看起来似乎只有物理系的学生有必要关注对于速度准确的想法。但是，这些想法对变化率这个广泛概念提供了非常简单的说明，这个概念在其他研究领域也非常重要，包括生物和社会科学。

在本节中，我们考虑速度问题的一个特殊情况:所讨论的对象可以看成沿着一条直行运动的点，所以它的位置由一个坐标(图1) 确定。如果我们知道每一时刻点的位置，那么真个运动轨迹就都已知，也就是说，如果我们知道位置$S$关于时间$t$的函数，

$$\begin{equation} s=f(t)\tag1 \end{equation}$$ 为了方便，$t$的初始值通常从$0$开始。

图1

例1：考虑一个自由落体的物体。或者说一个石头从悬崖边下落，悬崖的高度为400英尺(图2)。已经有许多实验表明$t$内石头下降的距离为
$$\begin{equation} s=16t^2\tag2 \end{equation}$$ 我们可以看出，当$t=5,s=400$时，石头到达地面，用时为5 秒，当$0\leq t\geq 5$时(2)式成立。


图2

示例中描述的运动涉及到两个基本问题。第一，在某一时刻石头的的速度是多少？第二，如何利用(2)计算速度？

我们都熟悉日常生活中的速度，表示行走一段路程的速率。我们说走路的速度为$3$米每小时($mi/h$)，驾驶速度为$55mi/h$等等。我们也说平均速度，这些都是我们经常计算的。如果我$5$小时行驶了$200mi$，那么我的平均速度就是$40mi/h$，因为

$$\rm \frac{distance\ traveled}{elapsed\ time}=\frac{200mi}{5h}=40\ mi/h.$$ 通常，
$$\rm average velocity=\frac{distance\ traveled}{elapsed\ time}$$ 这个公式几乎每个人都知道。

例1(续)：从落石的位置函数($f(t)=16t^2$)我们可以得到一秒后石头下降的距离是$f(1)=16$英尺，两秒后距离是$f(2)=64$英尺，三秒后是$f(3)=144$英尺。前三秒内每秒的平均速度是

$$\frac{16}{1}=16\ ft/s,\quad \frac{64-16}{1}=48\ ft/s,\quad \frac{144-64}{1}=80\ ft/s.$$ 很明显石头下降的越来越快，但是我们无法精确的知道每个瞬间下降的有多快。

为了求出$t$时刻石头的速度$v$，我们这样进行处理。$t$和之后很短的时间$t+\Delta t$时间间隔为$\Delta t$，石头下落的距离为$\Delta s$(图2)。这段时间的平均速度是$\Delta s/\Delta t$。当$\Delta t$很小时，平均速度很接近于开始的速度$v$；也就是，

$$v\cong \frac{\Delta s}{\Delta t}$$
其中符号$\cong$表示近似等于。更进一步，随着$\Delta t$ 越来越小，近似就越来越精确，所以我们有
$$\begin{equation} v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}tag3 \end{equation}$$
在这里速度$v$是很直观的概念，并且(3)演示了如何计算它。但是，也可以将(3)作为速度的定义，前面的叙述都是为了引出它。(3)中的极限显然是$ds/dt$ 的导数，具体计算为
$$\begin{eqnarray*} v=\frac{ds}{dt} &=&\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}\&=&\lim_{\Delta t\to 0}\frac{16(t+\Delta t)^2-16t^2}{\Delta t}\&=&\lim_{\Delta t\to 0}(32t+16\Delta t)=32t. \end{eqnarray*}$$
根据公式可以得出石头下落$1,2,3$秒时刻的速度分别为$32,64,96\ ft/s$，落地时的速度为$160\ ft/s$。我们注意到速度每秒增加$32\ ft/s$。通常我们用加速度为$32 \ ft/s^2$来表述这一事实，在十进制中，是$9.80\ m/s^2$

本例中的推论对所有直线运动都是成立的。所以对于如(1)那样的运动，我们可以用相同的方式来计算$t$时刻的速度$v$；也就是说，我们让时间间隔越来越短，从而让$v$越来越近似平均速度：

$$v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}.$$ 我们发现这就是函数$s=f(t)$的导数，所以沿直线运动的点的速度是位置函数的导数
$$v=\frac{ds}{dt}=f‘(t)$$ 有时我们称为瞬时速度，这是为了强调这是$t$时刻计算得到。velocity和speed在日常用语中经常混用，但是在数学和物理学中他们是有区别的。speed是velocity的绝对值
$$speed=|v|=\left|\frac{ds}{dt}\right|=|f‘(t)|$$ velocity可能是正，也可能是负，具体取决于点是正向移动还是反向移动；但speed是velocity的幅度，永远是正或零。speed的概念在曲线轨迹运动的研究中特别有用，因为它告诉我们点移动的速度有多快而不需要考虑方向。在我们的日常生活中，我们看里程表就能知道一辆车在任何时刻的速度大小。

例2：考虑从地面垂直向上发射的炮弹，初始速度为$128 \ ft/s$。该炮弹沿着一条直线向上和向下移动。但是，为了视觉上更加清晰，这里将它的路径分开考虑图3。$s=f(t)$是炮弹发射$t$秒后的高度。如果没有重力，炮弹将以恒定的速度向上移动，则$s=f(t)=128t$。然而，由于重力作用，它将慢下来，在顶部有短暂的停止，再落回地球且速度一直增加。实验证据表明，弹丸飞行的高度公式为

$$\begin{equation} s=f(t)=128t-16t^2\tag4 \end{equation}$$ 写成因式相乘的形式为$s=16t(8-t)$，我们看到$t=0,8$时$s=0$。也就是炮弹$8$秒后回到地面，当$0\leq t\leq 8$时，(4)式成立。

为了了解更多关于运动的性质，知道速度是非常必要的。如果将计算二阶多项式的计算规则应用到(4)式，我们得到

$$\begin{equation} v=\frac{ds}{dt}=128-32t\tag5 \end{equation}$$ 在顶部，炮弹停止，也就是$v=0$。根据(5)式，$v=0$时$t=4$；根据(4)式，$t=4$时$s=256$。从而我们找到了炮弹飞行的最大高度以及到达此高度所用的时间(图3)。当$t$从$0$ 增加到$8$时，根据(5)式可以看到$v$从$128\ ft/s$降到$-128\ ft/s$；事实上，$v$每秒降低$32\ ft/s$，也可以说加速度是$32 \ ft/s^2$。我们还能看到速度在$t=0$到$t=4$ 期间是正的，在$t=4$到$t=8$期间是负的。尤其是，根据(5) 式可以看到$t=2$时$v=64\ ft/s$，$t=6$时$v=-64\ ft/s$。 （speed都是$64\ ft/s$）。

图3

速度是变化率的一个例子。对于任何函数$y=f(x)$，导数$dy/dx$叫做$y$对$x$的变化率。直观上讲，就是$x$变化一个单位时$y$的变化量(图4)。用这个术语描述的话，速度是位置对于时间的变化量。当时间是独立变量时，我们经常忽略对于时间这个形容，只说变化量。

例3：(a)我们知道速度对于直线运动的研究非常重要，但是速度变化的形式也很重要。根据定义，加速度是速度$v$的变化率

$$a=\frac{dv}{dt}$$

图4

(b)假设水被泵入图5所示的锥形容器，速度为$5 ft^3/min$。 如果$V$表示$t$时刻容器中水的体积$V$，那么
$$\frac{dV}{dt}=5.$$
深度$x$变化率是导数$dx/dt$，它不是常数。从直觉上看，当水面面积比较小时，变化率应该比较大。并且随着面积的增加，变化率会越来越小。


图5

(c)我们知道半径为$r$的圆面积$A$为$A=\pi r^2$，这个函数的到数为

$$\begin{equation} \frac{dA}{dt}=2\pi r\tag6 \end{equation}$$ 该式说明圆面积对于半径的变化率等于它的周长。为了理解几何意义，让$\Delta r$表示半径的增量，$\Delta A$对应面积的增量(图6)。可以清楚的看到$\Delta A$是圆外围窄带的面积，近似等于周长$2\pi r$和窄带长度$\Delta r$的乘积。所以差商$\Delta A/\Delta r$接近$2\pi r$，让$\Delta r\to 0$，我们得到(6)式的几何意义。

图6

本部分介绍了两个主题：速度，运动目标位置的变化率；加速度，速度的变化率。这些都是微积分中很重要的内容。以后会经常讨论到他们。