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求$ \sum_{i=1}^n gcd(i,n) $ 给定 $n（1\le n\le 2^{32}) $。
用欧拉函数$φ(x)$求1到x-1有几个和x互质的数。
gcd(i,n)必定是n的一个约数。若p是n的约数，那么gcd(i,n)==p的有$φ(n/p)$个数，因为要使gcd(i,n)==p，i/p和n/p必须是互质的。那么就是求i/p和n/p互质的i在[1,n]里有几个，就等价于，1/p，2/p，...，n/p里面有几个和n/p互质，即φ(n/p)。
求和的话，约数为p的有φ(n/p)，所以就是p*φ(n/p)，同时把约数为n/p的加上去，i*i==n的要特判一下。
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ll long long
ll n,ans,i;
ll euler(int x)
{
int res=x;
for(int i=2; i<=sqrt(x); i++)
if(x%i==0)
{
res=res/i*(i-1);
while(x%i==0)x/=i;
}
if(x>1)res=res/x*(x-1);
return res;
}
int main()
{
while(~scanf("%lld",&n))
{
ans=0;
for(i=1; i<sqrt(n); i++)if(n%i==0)
ans+=i*euler(n/i)+n/i*euler(i);
if(i*i==n)ans+=i*euler(i);
printf("%lld\n",ans);
}
}
【POJ 2480】Longge's problem（欧拉函数）
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原文地址：http://www.cnblogs.com/flipped/p/5690123.html
