字符串专题一：KMP与扩展KMP

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KMP算法主要用于解决单模式串的匹配问题，即：给定主串s和模式串p，问p是否是s的子串（len(s)<=N, len(p)<=M）。

先考虑最朴素的算法，即枚举s中的起点i，检查s[i..i+M-1]是否等于p，这样的时间复杂度为O(NM)。

分析一下为什么这样的算法效率低（建议读者手动画个图）：设指针i和j分别指向s和p中的字符，不妨假定s[0..k-1]和p[0..k-1]已经匹配上了，而s[k]!=p[k]（k<M），这说明s[0..M-1]已经不能匹配上p了，根据朴素算法，指针i将移动到s[1]，指针j将移动到p[0]重新开始匹配，之后每次失配时主串中的指针i都要回到前面，这就产生了不必要的麻烦。但是如果指针i不回溯而是停在s[k]处，就会漏掉s[l..l+M-1]和p[0..M-1]（0<l<k）匹配上的情形。那么为了实现指针i不回溯，我们来重点考察这种情形：假定存在这样的l（0<l<k）使得s[l..l+M-1]和p[0..M-1]匹配上了，那么有s[l..k-1]=p[0..k-l-1]，由于之前已经匹配上的部分说明了s[l..k-1]=p[l..k-1]，于是推出p[0..k-l-1]=p[l..k-1]，也就是说这样的l会使得p[0..k-1]的长度为k-l的前缀和后缀完全相同！如果令next[k]=k-l的话，那么一旦在p[k]处失配，指针i不需要回溯，而指针j只需要指向模式串的next[k]处继续与主串比较就可以了！这就是KMP算法思想的出发点。

那么接下来我们要解决的，就是如何计算next数组。设next[k]=r，根据上一段的分析我们知道r是使得p[0..k-1]的前缀和后缀完全相同的最大长度（之所以选择最大长度是因为，当再次失配的时候可以继续把指针j向前移，就会移到较小的使前后缀完全相同的长度上）。考虑利用递推的方式来求next数组，假定我们已知next[i]=j，现在求next[i+1]：

■■■■■■■■□___________■■■■■■■■□

0　 　　j=next[i]　　　　　　　　　　　i

如果p[i]=p[j]，那么自然有next[i+1]=j+1；如果p[i]!=p[j]，那么从定义出发，next[i+1]是最大长度r（r<=j）使得p[0..r-1]=p[i-r+1..i]，由next[i]的性质可以推出p[i-r+1..i]=p[i-r+1..i-1]+p[i]=p[j-r+1..j-1]+p[i]，所以如果p[i]=p[r-1]，那么r就满足p[0..r-2]=p[j-r+1..j-1]，这表明next[j]=r-1，即next[i+1]=next[j]+1，此时相当于在比较p[i]和p[next[j]]；如果仍然有p[i]!=p[r-1]，那么仿照上面的推导过程，只需要比较p[i]和p[next[next[j]]]，形成这样一个递归过程：不断令j=next[j]，直到最后p[i]等于p[j]或者j=-1为止（如果令next[0]=-1的话），然后令next[++i]=++j就可以了。下面是对模式串p计算next数组的代码：

void CountNext(char p[])
{
    int i = 0, j = -1;
    next[0] = -1;
    while (i != lenp)
        if (j == -1 || p[i] == p[j])
            next[++i] = ++j;
        else j = next[j];
}

有了next数组以后就可以实现第一段中陈述的匹配过程了，用指针i指向主串s，指针j指向模式串p，如果s[i]=p[j]或者j=-1，那么两个指针各向后移动一位，如果s[i]!=p[j]，那么就将j向前移动到next[j]处，即令j=next[j]。当j=len(p)的时候，匹配就成功了，而当i=len(s)的时候，匹配就失败了。下面是利用next数组进行单模式串匹配的代码：

void KMP(char s[], char p[])
{
    int i = 0, j = 0;
    while (i != lens)
    {
        if (j == -1 || s[i] == p[j])
            ++i, ++j;
        else j = next[j];
        
        if (j == lenp)
            printf("One matched!\n"), j = next[j];
    }
}

可以看出两段代码具有很高的相似度。上面这段代码中，将完成一次匹配看作是在p[len(p)]处失配，这样就可以继续查找主串后面的部分与模式串的匹配情况了。

整个KMP算法的时间复杂度为O(N+M)，效率非常高。

练习题列表：

POJ3461 - Oulipo

Solutions

POJ3461 - Oulipo

题意：求模式串p在主串s中出现的次数（len(p)<=10,000, len(s)<=1,000,000）。

KMP模板题，每次匹配成功计数器自增1即可。

 1 //  Problem: poj3461 - Oulipo
 2 //  Category: KMP Algorithm
 3 //  Author: Niwatori
 4 //  Date: 2016/07/23
 5 
 6 #include <stdio.h>
 7 #include <string.h>
 8 
 9 int next[10010];
10 int lens, lenp;
11 
12 void CountNext(char p[])
13 {
14     int i = 0, j = -1;
15     next[0] = -1;
16     while (i != lenp)
17         if (j == -1 || p[i] == p[j])
18             next[++i] = ++j;
19         else j = next[j];
20 }
21 
22 int KMP(char s[], char p[])
23 {
24     int i = 0, j = 0, cnt = 0;
25     while (i != lens)
26     {
27         if (j == -1 || s[i] == p[j])
28             ++i, ++j;
29         else j = next[j];
30         
31         if (j == lenp)
32             ++cnt, j = next[j];
33     }
34     return cnt;
35 }
36 
37 int main()
38 {
39     int t; scanf("%d", &t);
40     while (t--)
41     {
42         char p[10010], s[1000010];
43         scanf("%s%s", p, s);
44         lenp = strlen(p);
45         lens = strlen(s);
46         CountNext(p);
47         printf("%d\n", KMP(s, p));
48     }
49     return 0;
50 }
51 
52 void KMP(char s[], char p[], int n)
53 {
54     int i = 0, j = 0;
55     while (i != lens)
56     {
57         if (j == -1 || s[i] == p[j])
58             ++i, ++j;
59         else j = next[j];
60         
61         if (j == lenp)
62             printf("One matched!\n"), j = next[j];
63     }
64 }

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