利用有限自动机(finite automata)进行模式匹配

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一.有限自动机定义及基本术语：

　　一个有限自动机 M 是一个5元组（Q, ，A, Σ, δ），其中：

• Q 是所有状态的有限集合;
•  ∈ Q (属于)是初始状态;
• A ⊆ Q （子集）是接受状态的集合;(对应于多模式？)
• Σ 是有限输入字母表;   
• δ 是从Q * Σ的转移函数，称为有限自动机M的转移函数;

记号与术语：

• Σ*  表示用字母表Σ中所有字符形成的所有有限长度的字符串集合.
• n输入字符串(input string)的长度.
• m模式字符串(pattern string)的长度；也称作终态m，当状态为m时表示，m长度的模式串匹配成功.
• |x| : 字符串x的长度, 如示符号记法.
• : 字符串w 是字符串x 的前缀，如示符号记法.
•  : 字符串w 是字符串x 的后缀，如示符号记法.（注意前缀/后缀均遵循传递规则）
• ε：表示空字符串，是所有字符串的后缀，前缀. (ε读作 epsilon )
• a : 下文中的字符a泛指所有字符(a∈Σ)，不特指字符‘a‘. 

二.引入的函数定义:

　　转移函数δ（transition function）( δ 读作"delta",对应大写为 Δ ).有限自动机开始于初始状态，每次读入输入字符串的一个字符，如果有限自动机在状态q是读入字符‘a‘,  则M状态从q变成 δ(q, a);

　　终态函数 Φ（finite state function）( Φ 读作"fai", 对应小写为 φ ) 是从 Σ* 到 Q 的函数,Φ(w)是永动机M 扫描字符串 w 终止后的状态；M 接受字符串w 当且仅当Φ(w)∈A, 函数Φ有下列递归关系定义：
　　　　φ(ε) = q0;（空字符串 ε 的终态为q0）

　　　　φ(wa) = δ(φ(w),a) (其中w∈Σ*，a∈Σ)

　　辅助函数，后缀函数σ 对应于模式字串P ( σ 读作 "sigma", 对应大写为 Σ )是从Σ* 到{0,1, ..., m}上的映射，σ(x)是字符串x的后缀同时是P的前缀的最大长度；
　　　　σ(x) = max{k: Pk ? x }
　　　　有P0 = ε是所有所有字符串的后缀;
　　注意:后缀函数的主要意义的是求出当前匹配失败时，求出已经匹配过的部分字串x是否是待匹配模式字串P的前缀，即匹配可以跳过x中部分长度( σ(x) ),可以用于实现转移过程;同时也表明在接受输入字符串x后的状态(终态)，即也用于实现终态函数。
三、字符串匹配自动机(string-matching automation)
　　下图是依据模式串 P="ababaca" 构建的自动机图表：

　　上图(a)是一个自动机的状态转换图表,接受所有以字符串"ababaca"结尾的字符串。其中状态0是初始状态，状态7是唯一接受状态(单模式匹配).

• 从状态i到状态j的带箭头的有向边表示转移过程: δ(i, a) = j(a∈Σ).
• 右向边组成了自动机的主要"骨架"，图中粗线部分，对应于输入字符同模式字串匹配成功的转移过程。左向边对应于匹配失败的转移过程(跳转,主要是计算已经匹配的部分字串的后缀子串同时是模式串P的前缀的最大长度).部分匹配失败的过程没有标示出来。
• 图中部分状态i在接受某字符a(a∈Σ)时，没有标示出对应有向边的情况表明其转移过程为: δ(i, a) = 0(a∈Σ),根据下面字符串模式匹配自动机定义，知当前已经匹配子串没有后缀字串是模式串P的前缀。如在状态3时，输入字符为‘c‘,即在已经匹配 了"aba"这时接受字符‘c‘，知当前已匹配字串为"abac",对应模式字串P="ababaca"，可知这时匹配失败，进行失败跳转求"abac" 后缀子串同时是模式串P前缀的最大长度，可知为0.
• 匹配成功的转移过程(对应状态，以及对应输入字符)均标示为灰色,
•  表(c)是自动机在处理(接受)输入文本T="abababacaba"的最终状态表。当输入字符T[i]时，此时字串T[0...i]对应的的最终状态 φ(T[0...i]) 同表(c)最后一列一一对应。有T["abababaca"] = P.length = 7(唯一接受状态)，即这时候在T串中匹配成功模式串P，结束位置为9，起始位置为(9-P.length+1)=3。

3.字符串匹配有限自动机定义:

　　给定模式(pattern)字符串 P[1...m],其对应的字符串匹配有限自动机定义如下:

1. 状态集Q = {0,1,...m}，开始状态q0 是状态0，state m 是唯一的接受状态；
2. 转移函数δ 可以用后缀函数来表示 (这个很重要， 因为状态转移函数是个抽象概念，而后缀函数可以用code表示) :

　　　 δ(q,a) = σ（Pq,a）   <等式一>
　　假设当前已经读入的字符串为T,为了让T的字串(以T[i]为结尾) 能匹配模式字串Pj,必须满足Pj是Ti的后缀;同时假设q = φ(Ti),说明读取字串Ti后自动机M 状态变成q；同时根据转移函数<等式一>可知q是模式字串P最大长度的前缀，同时是Ti的后缀；因此在状态q，有Pq ? Ti 和 q = σ(Ti) （当q 等于m 时，说明模式字串P整个是Ti的后缀，也意味着匹配查找成功了），因此有σ(Ti)= q，得出永动机也支持下面的等式(终态函数也是抽象的，转化为后缀函数表达式后，可以用code表示)：
 　　φ(Ti) = σ(Ti)（i = 0,1,...n）        <等式二>

　　2同时有两个引理(具体证明可以参考算法导论)：

    引理1、后缀函数不等式：

            σ(xa) ≤ σ(x) + 1 (对于任何字符串x，以及字母a)

    引理2、后缀函数递归引理：

        对于任何字符串x，以及字母a，如果q = σ(x),有：
            σ(xa) = σ(Pqa)


<等式二> 可以用数学归纳法证明，具体如下:
1、当i = 0，因为T0 = ε，因此有φ(Ti) = 0 = σ(Ti)
2、假设φ(Ti) = σ(Ti)，证明φ(Ti+1) = σ(Ti+1)，用q 表示φ(Ti)，用字母a表示T[i+1],有：
φ(Ti+1) = φ(Tia) (Ti+1 == Tia)
             = δ(φ(Ti),a) (根据终态函数的定义)
            = δ(q,a) （根据q的定义）
            = σ(Pqa) （根据等式一）
            = σ(Tia) (根据引理二)
            = σ(Ti+1) (Ti+1 == Tia)


　　从上面可以知道当读入T i 的终态(亦即读入T[i]后转移函数状态)等于模式长度，就匹配成功了，下面是有限自动机机匹配算法伪代码：
　　下面就是根据<等式一>来实现转移函数的伪代码：

利用有限自动机(finite automata)进行模式匹配

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