最长递增子序列问题

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题目描述

给定一个未排序的整数数组，找出最长递增子序列。
例如给定数组[10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]，最长递增子序列就是[2, 3, 7, 101]，长度就是4，最长递增子序列不一定只有一个，只要求出最长的长度。

解法一

动态规划法，定义一个数组dp，dp[i]代表了第i个数为结尾的最长递增子序列长度。当计算第dp[i]时，比较i位置的值和前面的所有值相比，如果值大于前面j处的值，就记录当前最大的dp[i]为dp[j]+1，dp[i]中的最大值。遍历过程中可以设置一个值记录最大递增子序列。
时间复杂度：由于每次判断dp[i]，需要和i前面的所有值比较，因此，时间复杂度为O(n²)。
实现：

public static int longestSubstring(int[] arr){
    if (arr == null || arr.length <= 0) return 0;
    int[] dp = new int[arr.length];
    dp[0] = 1;
    int max = dp[0];
    for (int i = 1; i < arr.length; i++){
        dp[i] = 1;
        for (int j = 0; j < i; j++){
            if (arr[j] < arr[i]) {
                dp[i] = dp[i] >= dp[j] + 1 ? dp[i] : dp[j] + 1;
            }
        }
        max = max >= dp[i] ? max : dp[i];
    }
    return max;
}

解法二

解法二中，同样定义一个数组h[]，h[i]表示的是长度为i+1的递增子序列的最小末尾。h数组是有序的，每次遍历一个数，就在数组h的有效区中（填充了数据的部分）找到第一个大于自己的数，将其覆盖。
时间复杂度：O(nlogn)
实现:

public static int longestSubstringFast(int[] arr){
    if (arr == null || arr.length <= 0) return 0;
    int[] h = new int[arr.length];
    h[0] = arr[0];
    int low = 0;
    int high = 0;
    int curr = 0;  //记录h的最后一个位置
    for (int i = 1; i < arr.length; i++){
        if (arr[i] > h[curr]) {
            h[++curr] = arr[i];  //比当前最后一个大，则直接插入在末尾
        }
        else{
            low = 0;
            high = curr;
            while (low <= high){
                if (h[high] < arr[i]) {
                    h[high+1] = arr[i];
                    break;
                }
                if (h[low] > arr[i]){
                    h[low] = arr[i];
                    break;
                }
                int mid = (low + high) / 2;
                if (arr[i] == h[mid]) break;
                else if (arr[i] > h[mid]) low = mid + 1;
                else high = mid;
            }
        }
    }
    return curr+1;
}

扩展题目

描述：给定一个N×2 的二维数组，看作是一个个二元组，例如[[a1,b1],[a2,b2],[a3,b3]]，
规定：一个如果想把二元组甲放在二元组乙上，甲中的a 值必须大于乙中的a 值，甲中的b
值必须大于乙中的b 值。如果在二维数组中随意选择二元组，请问二元组最多可以往上摞
几个？
例如：[[5,4],[6,4],[6,7],[2,3]], 最大数量可以摞3 个，[2,3] => [5,4] => [6,7]
要求：实现时间复杂度O(NlogN)的解法

解法一

与上面求最长递增子序列方法一样，首先需要将数组排序，定义一个类用于表示二元组。排序规则为首先对二元组第一个数递增排序，然后第一个数相同的情况下，对第二个数递增排序。其中dp[i]表示以第i个二元组为结尾的最大长度。
时间复杂度：O(n²)
实现：
二元组定义

/**
 * 二元组类，保存两个数
 * Created by GGM on 2016/7/25.
 */
public class TwoTuples {
    private int a;
    private int b;
    public int getA() {
        return a;
    }
    public int getB() {
        return b;
    }
    public TwoTuples(int a, int b){
        this.a = a;
        this.b = b;
    }
    public boolean canBeUpper(TwoTuples twoTuples) {
        if (this.a > twoTuples.a && this.b > twoTuples.b) return true;
        return false;
    }
}

比较器定义

/**
 * Created by GGM on 2016/7/25.
 */
public class ComparatorGenerator {
    /**
     * 第一个数递增排序，第二个数递增排序
     * @return
     */
    public static Comparator<TwoTuples> orderComparator(){
        return new Comparator<TwoTuples>() {
            @Override
            public int compare(TwoTuples o1, TwoTuples o2) {
                if (o1.getA() == o2.getA()){
                    return o1.getB() > o2.getB() ? 1 : (o1.getB() == o2.getB() ? 0 : -1);
                } else {
                    return o1.getA() > o2.getA() ? 1 : -1;
                }
            }
        };
    }
    /**
     * 第一个数大递增排序，第二数递减排序
     * @return
     */
    public static Comparator<TwoTuples> reverseComparator(){
        return new Comparator<TwoTuples>() {
            @Override
            public int compare(TwoTuples o1, TwoTuples o2) {
                if (o1.getA() == o2.getA()){
                    return o1.getB() > o2.getB() ? -1 : (o1.getB() == o2.getB() ? 0 : 1);
                } else {
                    return o1.getA() > o2.getA() ? 1 : -1;
                }
            }
        };
    }
}

算法实现

public static int longestOfTwoTuples(TwoTuples[] arr){
    if (arr == null || arr.length <= 0) return 0;
    int[] dp = new int[arr.length];
    Arrays.sort(arr,ComparatorGenerator.orderComparator());
    dp[0] = 1;
    int max = dp[0];
    for (int i = 1; i < arr.length; i++){
        dp[i] = 1;
        for (int j = 0; j < i; j++){
            if (arr[i].canBeUpper(arr[j])) {  //如果当前i可以放在j上面
                dp[i] = dp[i] >= dp[j] + 1 ? dp[i] : dp[j] + 1;
            }
        }
        max = max >= dp[i] ? max : dp[i];
    }
    return max;
}

解法二

本解法同样需要对数组先排序，排序使用如下规则：对第一个数升序排序，如果第一个数相同，则第二个数降序排序。 h[i]存放的是二元组的b的值，因为相同的a的情况的下，b是按降序排序，相同的a情况下，b会覆盖第一个比它大的值，如果b的值比有效区最后一个值，那么说明是a也比有效区最后一个值，那么，将其添加在后面。
时间复杂度：O(nlogn)
实现：
二元组和比较器在上面定义，此处就省略了
算法实现

public static int longestOfTwoTuplesFast(TwoTuples[] arr){
    if (arr == null || arr.length <= 0) return 0;
    int[] h = new int[arr.length];
    Arrays.sort(arr,ComparatorGenerator.reverseComparator());
    h[0] = arr[0].getB();
    int low = 0;
    int high = 0;
    int curr = 0;  //记录h的最后一个位置
    for (int i = 1; i < arr.length; i++){
        if (arr[i].getB() > h[curr]) {
            h[++curr] = arr[i].getB();  //比当前最后一个大，则直接插入在末尾
        }
        else{
            low = 0;
            high = curr;
            while (low <= high){
                if (h[high] < arr[i].getB()) {
                    h[high+1] = arr[i].getB();
                    break;
                }
                if (h[low] > arr[i].getB()){
                    h[low] = arr[i].getB();
                    break;
                }
                int mid = (low + high) / 2;
                if (arr[i].getB() == h[mid]) break;
                else if (arr[i].getB() > h[mid]) low = mid + 1;
                else high = mid;
            }
        }
    }
    return curr+1;
}

最长递增子序列问题

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原文地址：http://www.cnblogs.com/ggmfengyangdi/p/5703219.html