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白话背包之完全背包

时间:2014-08-07 13:07:40      阅读:235      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:dp   算法   白话入门小结   

借着前面的  白话背包之01背包 的基础,来结合图看看完全背包是个什么东东,希望以后自己看能一目了然,能对刚接触的童鞋有帮助是最好不过滴

一:关于完全背包

有N个物品,每个物品(有无限多个) i 对应有重量w[i]、价值va[i]。有一个背包可以放M重的物品,现在让你从N钟物品中选择一些物品,在不超过背包上限情况使得背包装的价值最大。

二:初步了解完全背包算法

那么这里看看状态转移方程:

dp[i][j]=max{dp[i-1][j-k*w[i]]+k*va[i] | 0<=k*va[i]<=M},理解为在考虑第i件物品的时候,背包剩余容量为j下获得的最大利益。

看看代码:解释清楚再优化

for(int i = 1; i <= N; i ++){
    for(int j = w[i]; j <= M; j ++){
        int Max = 0;
        for(int k = 0; k*w[i] <= M; k ++){
            Max = max(Max,dp[i-1][j-k*w[i]]+k*va[i]);
        }
        dp[i][j] = Max;
    }
}
那么我们看看这是怎么运算的,例如,第一件物品w[1] = 3, va[1] = 2;那么我们对于上面的代码,如下图执行:

bubuko.com,布布扣

那么先考虑 dp[1][3]的情况,我们发现,在这里,k循环的时候只能取 1,使得dp[1][3] = dp[0][3-1*3]+1*2 = dp[0][0]+2 = 2;意思是,考虑第一件物品,背包大小为3的情况,我们能放1个第一件物品(多了就放不下啦),使得这个状态下收益最大。

那么同理,考虑第一件物品的时候,背包的其他状态更新如下:

bubuko.com,布布扣

可以发现,一直到背包容量为6之前,都只可以放下一个第一件物品,那么容量为6的时候,刚好就可以放进两个

bubuko.com,布布扣

那么这里我们就可以发现,其实第一件物品、容量为6的状态dp[1][6],可以在dp[1][3]的状态得到,并且其他的状态也类似。。。

三:那么我们可以引入优化的一维数组,同时也降低时间复杂度

先看看一维数组的算法:

for(int i = 1; i <= N; i ++){
    for(int j = w[i]; j <= M; j ++){
        dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+va[i]);
    }
}

上面说其他状态类似,到底怎么类似的呢?,看图:

bubuko.com,布布扣bubuko.com,布布扣

那么,到6之前就变成了

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那么更新 dp[6]的时候,就可以依靠dp[3]+va[1] 得到,那么在考虑其他的物品的时候,也就类似啦。那么这里也就是需要区别01背包的地方。。。就是for循环的时候,是从小到大,因为考虑当前状态dp[j]的时候,我们是必须依靠前面已有的状态 (也就是,前面一定放了这件物品,我们再放一件,看能不能得到更大利益) 来更新现在的状态。

OK,到此完全背包完毕

个人愚昧观点,欢迎指正与讨论

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白话背包之完全背包

标签:dp   算法   白话入门小结   

原文地址:http://blog.csdn.net/zyy173533832/article/details/38414701

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