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二叉堆

时间:2016-08-01 20:57:01      阅读:285      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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堆的定义

  堆(heap),这里所说的堆是数据结构中的堆,而不是内存模型中的堆。堆通常是一个可以被看做一棵树,它满足下列性质:
    [ 性质一 ] 堆中任意节点的值总是不大于(不小于)其子节点的值;
    [ 性质二 ] 堆总是一棵完全树。
  将任意节点不大于其子节点的堆叫做最小堆或小根堆 ,而将任意节点不小于其子节点的堆叫做最大堆或大根堆 。常见的堆有二叉堆、左倾堆、斜堆、二项堆、斐波那契堆等等。

二叉堆的定义

  二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树,它分为两种: 最大堆和最小堆 。
  最大堆:父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值;最小堆:父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。示意图如下:

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  二叉堆一般都通过" 数组 "来实现。数组实现的二叉堆,父节点和子节点的位置存在一定的关系。有时候,我们将"二叉堆的第一个元素"放在数组索引0的位置,有时候放在1的位置。当然,它们的本质一样(都是二叉堆),只是实现上稍微有一丁点区别。 假设"第一个元素"在数组中的索引为0的话,则父节点和子节点的位置关系如下:
  (01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
  (02) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+2);
  (03) 索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2);

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  假设"第一个元素"在数组中的索引为 1 的话,则父节点和子节点的位置关系如下:
  (01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i);
  (02) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
  (03) 索引为i的父结点的索引是 floor(i/2);

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  注意:本文二叉堆的实现统统都是采用"二叉堆第一个元素在数组索引为0"的方式!

  在前面,我们已经了解到:"最大堆"和"最小堆"是对称关系。这也意味着,了解其中之一即可。本节的图文解析是以"最大堆"来进行介绍的。

  二叉堆的核心是"添加节点"和"删除节点",理解这两个算法,二叉堆也就基本掌握了。下面对它们进行介绍。

1. 添加

  假设在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]种添加85,需要执行的步骤如下:

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  如上图所示,当向最大堆中添加数据时:先将数据加入到最大堆的最后,然后尽可能把这个元素往上挪,直到挪不动为止!
将85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中后,最大堆变成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。

最大堆的插入代码(C语言)

/*
 * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0,调整堆)
 * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。
 * 参数说明:
 *	 start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
 */
static void maxheap_filterup(int start){
  int c = start;		// 当前节点(current)的位置
  int p = (c-1)/2;		// 父(parent)结点的位置 
  int tmp = m_heap[c];	// 当前节点(current)的大小

  while(c > 0){
    if(m_heap[p] >= tmp)
      break;
    else{
      m_heap[c] = m_heap[p];
      c = p;
      p = (p-1)/2;   
    }	   
  }
  m_heap[c] = tmp;
}
  
/* 
 * 将data插入到二叉堆中
 * 返回值: 0,表示成功;-1,表示失败
 */
int maxheap_insert(int data){
  // 如果"堆"已满,则返回
  if(m_size == m_capacity)
    return -1;
 
  m_heap[m_size] = data;	// 将"数组"插在表尾
  maxheap_filterup(m_size);	// 向上调整堆
  m_size++;				// 堆的实际容量+1

  return 0;
}

  maxheap_insert(data)的作用:将数据data添加到最大堆中。
  当堆已满的时候,添加失败;否则data添加到最大堆的末尾。然后通过上调算法重新调整数组,使之重新成为最大堆。

2. 删除

假设从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除90,需要执行的步骤如下:

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   从[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]删除90之后,最大堆变成了[85,80,70,60,40,30,20,10,50]。
  如上图所示,当从最大堆中删除数据时:先删除该数据,然后用最大堆中最后一个的元素插入这个空位;接着,把这个“空位”尽量往上挪,直到剩余的数据变成一个最大堆。

  注意:考虑从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除60,执行的步骤不能单纯的用它的子节点来替换;而必须考虑到"替换后的树仍然要是最大堆"!

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 最大堆的删除代码(C语言)

/* 
 * 返回data在二叉堆中的索引
 * 返回值: 存在 -- 返回data在数组中的索引不存在 -- -1
 */
int get_index(int data){
  int i=0;

  for(i=0; i<m_size; i++)
    if (data==m_heap[i])
      return i;

  return -1;
}

/* 
 * 最大堆的向下调整算法
 * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。
 * 参数说明:
 *	 start -- 被下调节点的起始位置(一般为0,表示从第1个开始)
 *	 end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
 */
static void maxheap_filterdown(int start, int end){
  int c = start;		  // 当前(current)节点的位置
  int l = 2*c + 1;	 // 左(left)孩子的位置
  int tmp = m_heap[c];	// 当前(current)节点的大小

  while(l <= end){
    // "l"是左孩子,"l+1"是右孩子
    if(l < end && m_heap[l] < m_heap[l+1])
      l++;		// 左右两孩子中选择较大者,即m_heap[l+1]
    if(tmp >= m_heap[l])
      break;		//调整结束
    else{
      m_heap[c] = m_heap[l];
      c = l;
      l = 2*l + 1;   
    }	   
  }   
  m_heap[c] = tmp;
}

/*
 * 删除最大堆中的data
 * 返回值:  0,成功;-1,失败
 */
int maxheap_remove(int data){
  int index;
  // 如果"堆"已空,则返回-1
  if(m_size == 0)
    return -1;

  // 获取data在数组中的索引
  index = get_index(data); 
  if (index==-1)
    return -1;

  m_heap[index] = m_heap[--m_size];		// 用最后元素填补
  maxheap_filterdown(index, m_size-1);	// 从index位置开始自上向下调整为最大堆

  return 0;
}
 

  maxheap_remove(data)的作用:从最大堆中删除数据data。 当堆已经为空的时候,删除失败;否则查处data在最大堆数组中的位置。找到之后,先用最后的元素来替换被删除元素;然后通过下调算法重新调整数组,使之重新成为最大堆。该"示例的完整代码"以及"最小堆的相关代码",请参考下面的二叉堆的实现。

二叉堆

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原文地址:http://www.cnblogs.com/wxgblogs/p/5727026.html

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