标签：
给一个范围[1,n]，从中找出两个数x,y，使得gcd(x,y)为质数，问有多少对（x,y有序）
不难，欧拉函数练手题，可以定义集合P ={x|x为素数}，那么我们枚举gcd(x,y)可能等于的情况，对于任意p∈P可以得到：gcd(k1·p,k2·p) = p，当且仅当gcd(k1,k2) =1;那么我们就只需要枚举所有的k1,k2了。不妨设k1>k2，那么给定k1，k2的个数就是phi(k1),因为有序，所以给phi*2，但是，这样是否漏算了呢？没错，漏算了（1,1），补上就行了，那么这个的答案就是计算下面那个表达式。
稍有常识的人就会看出，如果我们的坦克再前进一步(大雾)要算这个式子，复杂度是O(n^2)的，我们分析一下复杂度主要消耗再哪里。
如果我们用暴力公式，也就是
的话，复杂度显然是很高的，全算出来高达（不是那个高达）O(n*sqrt(n))，这样的复杂度在1e7内是无法忍受的，所以我们
必须另外想办法，下面我引入三个很厉害东西：
1.当p∈P时，phi(p) = p-1；
2.如果i mod p = 0, 那么 phi(i * p)=p * phi(i)，证明略，其实我也不会证
3.若i mod p ≠0, 那么 phi( i * p )=phi(i) * ( p-1 ) ；
有了这三个就容易写出线性的求euler函数了。
里面那一重循环可以在外面递推乱搞，自己想，或者看我代码。
那么这个的复杂度就降为了O(n);
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 int flag[10000001],p[6000000],tot; 4 int phi[10000001]; 5 void get_p(int end){ 6 for(int i=1;i<=end;i++) 7 flag[i] = 1; 8 for(int i=2; i<=end; i++){ 9 if(flag[i]==1){ 10 p[++tot]=i; 11 phi[i] = i-1; 12 } 13 for(int j=1; j<=tot && p[j]*i<=end; j++){ 14 flag[p[j]*i]=0; 15 if(i%p[j]==0){ 16 phi[i*p[j]] = p[j] * phi[i]; //欧拉函数的特性 17 break; 18 }else phi[i*p[j]] = (p[j]-1) * phi[i]; 19 } 20 } 21 } 22 long long f[10000001]; 23 24 int main(){ 25 int n; 26 cin >> n; 27 get_p(n); 28 f[1] = 1; 29 for(int i=2;i<=n;i++){ 30 f[i] = f[i-1] +phi[i]*2; 31 } 32 long long ans = 0; 33 for(int i=1;i<=tot;i++){ 34 ans = ans+f[n/p[i]]; 35 } 36 cout<<ans; 37 return 0; 38 }
标签：
原文地址：http://www.cnblogs.com/1-1-1-1/p/5727032.html
