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所谓最小乘积生成树，即对于一个无向连通图的每一条边均有两个权值xi，yi，在图中找一颗生成树，使得Σxi*Σyi取最小值。
直接处理问题较为棘手，但每条边的权值可以描述为一个二元组（xi,yi），这也就不难想到将生成树转化为平面内的点，x代表Σxi，y代表Σyi（注意这里的xi，yi指的是在生成树中的边的权值），那么问题就变成了在平面内找一个点使得x*y最小，那么显然这个点是在下凸壳上的。
因此可以首先找出两个一定在凸包上的点，例如A（minx，y），B（miny，x），在直线AB下方找一个在凸包上且x*y最小的点。
于是可以每次找距离直线AB最远的点，有两种求法，令找到的那个点为C，如果利用叉乘，即使向量CB叉乘向量CA最大，因为我们考虑的是向量的模长，可以让向量CA叉乘向量CB（虽然模长是负的，但并没有什么关系，当然也可以最大化这个值，只不过一个是最小生成树，一个是最大生成树而已），然后最小化这个值即可。
2S=（B.x-A.x）（C.y-B.y）-（B.y-A.y）（C.x-A.x）省略常数后就变成了B.x*C.y-A.x*C.y-B.y*C.x+A.y*C.x。
因为只需要求Σxi，Σyi，因此只需要求出点的坐标，并不要考虑面积，所以将每条边的yi*（B.x-A.x），xi*（A.y-B.y），以（xi+yi）为关键字排序kruskal（）就行了。
然后递归处理，直到叉积大于等于0退出（此时AB下方一定没有点）
也可以利用点到直线的距离公式|Ax0+By0+C|/(√(A2+B2）），省略常数且保证B<=0,那么若点在直线下方，则Ax+By+C>0。
因此可以省略绝对值符号，再省略常数，即使Ax0+By0最大，因此将xi*A，yi*B，将（xi+yi）为关键字排序作最大生成树即可，还是按叉积判断（理应也可以看C.x*A+C.y*B<=0就退出，然而狂WA不止。。。。并不知道这是为什么。。。。）
然后这是一道裸题，就可以愉快地切掉了。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 using namespace std; 7 #define maxn 10100 8 #define inf 0x7fffffff 9 10 int n,m; 11 int val[2*maxn],fa[maxn]; 12 13 struct edge{ 14 int from,to,x,y; 15 long long z; 16 }e[maxn]; 17 18 struct node{ 19 int x,y; 20 long long calc(){return (long long)x*y;} 21 }minx,miny,ans; 22 23 int find(int x){ 24 return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]); 25 } 26 27 node kruskal(){ 28 int tot=0;node now={0,0}; 29 for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; 30 for (int i=1;i<=m;i++){ 31 int a=find(e[i].from),b=find(e[i].to); 32 if (a!=b){ 33 fa[a]=b; 34 tot++; 35 now.x+=e[i].x; 36 now.y+=e[i].y; 37 if (tot==n-1) break; 38 } 39 } 40 long long tmpa=ans.calc(),tmpb=now.calc(); 41 if (tmpb<tmpa||(tmpb==tmpa&&now.x<ans.x)) ans=now; 42 return now; 43 } 44 45 long long cross(node a,node b,node c){ 46 long long x1=(b.x-a.x),x2=(b.y-a.y),y1=(c.x-a.x),y2=(c.y-a.y); 47 return (x1*y2-x2*y1); 48 } 49 50 bool cmpx(edge a,edge b){return a.x<b.x;} 51 bool cmpy(edge a,edge b){return a.y<b.y;} 52 bool cmpz(edge a,edge b){return a.z<b.z;} 53 54 void solve(node a,node b){ 55 for (int i=1;i<=m;i++) 56 e[i].z=e[i].y*(b.x-a.x)+e[i].x*(a.y-b.y); 57 sort(e+1,e+m+1,cmpz); 58 node t=kruskal(); 59 if (cross(a,b,t)>=0) return; 60 solve(a,t); 61 solve(t,b); 62 } 63 64 int main(){ 65 scanf("%d%d",&n,&m); 66 ans=(node){inf,inf}; 67 for (int i=1,u,v;i<=m;i++) scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&e[i].x,&e[i].y),e[i].from=++u,e[i].to=++v; 68 sort(e+1,e+m+1,cmpx); 69 minx=kruskal(); 70 sort(e+1,e+m+1,cmpy); 71 miny=kruskal(); 72 //cout<<minx.x<<‘ ‘<<minx.y<<‘ ‘<<miny.x<<‘ ‘<<miny.y<<endl; 73 solve(minx,miny); 74 printf("%d %d",ans.x,ans.y); 75 return 0; 76 }
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 using namespace std; 7 #define maxn 10100 8 #define inf 0x7fffffff 9 10 int n,m; 11 int val[2*maxn],fa[maxn]; 12 13 struct edge{ 14 int from,to,x,y; 15 long long z; 16 }e[maxn]; 17 18 struct node{ 19 int x,y; 20 long long calc(){return (long long)x*y;} 21 }minx,miny,ans; 22 23 int find(int x){ 24 return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]); 25 } 26 27 node kruskal(){ 28 int tot=0;node now={0,0}; 29 for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; 30 for (int i=1;i<=m;i++){ 31 int a=find(e[i].from),b=find(e[i].to); 32 if (a!=b){ 33 fa[a]=b; 34 tot++; 35 now.x+=e[i].x; 36 now.y+=e[i].y; 37 if (tot==n-1) break; 38 } 39 } 40 long long tmpa=ans.calc(),tmpb=now.calc(); 41 if (tmpb<tmpa||(tmpb==tmpa&&now.x<ans.x)) ans=now; 42 return now; 43 } 44 45 int cross(node a,node b,node c){ 46 int x1=b.x-a.x,y1=b.y-a.y,x2=c.x-a.x,y2=c.y-a.y; 47 return (x1*y2-x2*y1); 48 } 49 50 bool cmpx(edge a,edge b){return a.x<b.x;} 51 bool cmpy(edge a,edge b){return a.y<b.y;} 52 bool cmpz(edge a,edge b){return a.z>b.z;} 53 54 void solve(node a,node b){ 55 int A=b.y-a.y,B=a.x-b.x; 56 for (int i=1;i<=m;i++) e[i].z=e[i].x*A+e[i].y*B; 57 sort(e+1,e+m+1,cmpz); 58 node t=kruskal(); 59 if (cross(a,b,t)<0) solve(a,t),solve(t,b); 60 } 61 62 int main(){ 63 // freopen("data.in","r",stdin); 64 // freopen("WA.out","w",stdout); 65 scanf("%d%d",&n,&m); 66 ans=(node){inf,inf}; 67 for (int i=1,u,v;i<=m;i++) scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&e[i].x,&e[i].y),e[i].from=++u,e[i].to=++v; 68 sort(e+1,e+m+1,cmpx); 69 minx=kruskal(); 70 sort(e+1,e+m+1,cmpy); 71 miny=kruskal(); 72 //cout<<minx.x<<‘ ‘<<minx.y<<‘ ‘<<miny.x<<‘ ‘<<miny.y<<endl; 73 solve(minx,miny); 74 printf("%d %d",ans.x,ans.y); 75 return 0; 76 }
bzoj2395[Balkan 2011]Timeismoney最小乘积生成树
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原文地址：http://www.cnblogs.com/DUXT/p/5739864.html
