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大意：
[HZOI 2016]公路修建
给定一个有n个点和m-1组边的无向连通图，其中每组边都包含一条一级边和一条二级边(连接的顶点相同)，同一组边中的一级边权值一定大于等于二级边，另外给出一个数k(k<=n-1)，求原图的一个生成树，使得其中至少包含k条一级边且最大的边权值尽量小。
[HZOI 2016]公路修建2
和上一题基本一样，但是求出的不一定是生成树(也就是说可以有多于n-1条边，只要让图连通即可)，在此前提下仍然使得其中至少包含k条一级边且最大的边权值尽量小。
解法：
两题均可以使用贪心算法解决，但是由于两题对最终总边数的要求不同，使用的贪心算法也就差别甚远。
对于第一题，可以先对一级边跑一遍Kruskal建出k条边，然后再对二级边跑一遍Kruskal建出剩下的边。
这个算法比较直观，但正确性需要我们进行证明。不过dbw神犇确实给出了一个证明，在此致以崇高的敬意。
这里给出我自己的证明，首先分两种情况：
1.最大边是一级边
这样用Kruskal求出的不完整生成树中包含的一定是尽量小的k条一级边，因此这种情况下这个算法得到的解不会比最优解更差。
2.最大边是二级边
如果第二遍的Kruskal求出的最大边可以用一条比它更小的边替代，那么显然这条边不是二级边(因为第二遍Kruskal已经保证了这一点)，但如果它是一级边的话，用它对应的二级边替换最大边显然不会比用一级边替代更差，但这种情况已经被推翻，因此这种情况下这个算法的解也不会比最优解更差。
综上所述，此贪心算法成立。
对于第二题，可以先对二级边直接跑一遍Kruskal求出最小生成树，再把权值前k小的一级边加入方案中即可。
这个的正确性更加显然，不过还是给出证明。
仍然分两种情况：
1.最大边是一级边
第二步已经保证了所选的一级边的方案不会存在更优解，这种情况下此算法正确。
2.最大边是二级边
第一步已经保证了所选的二级边方案不会存在更优解，故这种情况下此算法也正确。
综上所述，此贪心算法成立。
两题的解法叙述到此结束。
后记：
这两题题面极其雷同，解法也有共通之处(都是贪心+最小生成树)，但造成两题最终算法产生如此巨大的差别的原因，就在于两题的一个小差距：
第一题要求所求方案必须是生成树，第二题则只要求连通，边可以多选(这也是为什么不考虑一级边和二级边重了等情况的原因)。
如果质疑为什么第一题的算法不可以解第二题，请参见第二题的样例。
这两个题告诉我们，一定要好好读题，要不然看见第二题之后没好好读题直接按生成树写的就WA大吉了。
顺便一提，这两个题都可以用二分答案，复杂度和贪心不相上下。
支持你的
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后来是梦想
最终是使命
COGS 2416.[HZOI 2016]公路修建 & COGS 2419.[HZOI 2016]公路修建2 题解
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原文地址：http://www.cnblogs.com/hzoier/p/5744518.html
