组合数

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如何快速判断组合数的奇偶性

组合数C(n,m)的奇偶性可这样判断：如果(n&m) == m的话，则C(n,m)为奇；否则为偶。证明如下(百度上找的证明，如果不想看直接记住，跳到后面看代码)：

证明：
　　利用数学归纳法：
　　由C(n,k) = C(n,k-1) + C(n-1,k-1);
　　对应于杨辉三角：
　　1
　　1 2 1
　　1 3 3 1
　　1 4 6 4 1
　　………………
　　可以验证前面几层及k = 0时满足结论，下面证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 满足结论的情况下，
　　C(n,k)满足结论。
　　1).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为奇数：
　　则有：(n-1)&k == k;
　　(n-1)&(k-1) == k-1;
　　由于k和k-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位，下同)必然是不同的，所以n-1的最后一位必然是1
　　。
　　现假设n&k == k。
　　则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。
　　因为n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k != k，与假设矛盾。
　　所以得n&k != k。
　　2).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为偶数：
　　则有：(n-1)&k != k;
　　(n-1)&(k-1) != k-1;
　　现假设n&k == k.
　　则对于k最后一位为1的情况：
　　此时n最后一位也为1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，与假设矛盾。
　　而对于k最后一位为0的情况：
　　则k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意个0。
　　相应的，n对应的部分为： 1{*}*; *代表0或1。
　　而若n对应的{*}*中只要有一个为1，则(n-1)&k == k成立，所以n对应部分也应该是10。
　　则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，与假设矛盾。
　　所以得n&k != k。
　　由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时，n&k != k。
　　3).假设C(n-1,k)为奇数而C(n-1,k-1)为偶数：
　　则有：(n-1)&k == k;
　　(n-1)&(k-1) != k-1;
　　显然，k的最后一位只能是0，否则由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。
　　所以k的末尾必有一部分形如：10;
　　相应的，n-1的对应部分为： 1{*}*;
　　相应的，k-1的对应部分为： 01;
　　则若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.
　　所以n的对应部分也就为 ： 1{*}*; (不会因为进位变1为0)
　　所以 n&k = k。
　　4).假设C(n-1,k)为偶数而C(n-1,k-1)为奇数：
　　则有：(n-1)&k != k;
　　(n-1)&(k-1) == k-1;
　　分两种情况：
　　当k-1的最后一位为0时:
　　则k-1的末尾必有一部分形如: 10;
　　相应的，k的对应部分为 : 11;
　　相应的，n-1的对应部分为 : 1{*}0; (若为1{*}1,则(n-1)&k == k)
　　相应的，n的对应部分为 : 1{*}1;
　　所以n&k = k。
　　当k-1的最后一位为1时:
　　则k-1的末尾必有一部分形如: 01; (前面的0可以是附加上去的)
　　相应的，k的对应部分为 : 10;
　　相应的，n-1的对应部分为 : 01; (若为11，则(n-1)&k == k)
　　相应的，n的对应部分为 : 10;
　　所以n&k = k。
　　由3),4)得出当C(n,k)为奇数时，n&k = k。
　　综上，结论得证!

代码实现：

#include<cstdio>

int main(void)
{
    int n,m;
    while(scanf("%I64d%I64d",&n,&m) != EOF)
    {
        if((n&m) == m) puts("YES");
        else puts("N0");
    }

    return 0;
}

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原文地址：http://www.cnblogs.com/Muia/p/5746491.html