tyvj1191 迎春舞会之三人组舞

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本题源自UVa 10271 Chopsticks

对于这道题，首先应该想到贪心：每次取差值最小的一对。但是这样的贪心策略很容易找到反例，而且N=5000的数据规模，十分有可能是O(n^2)的算法。
于是考虑动态规划。如果是DP，那么很容易想到如下的状态定义：d[i][j]表示用前j个数组成i个(x,y,z)数对的最小消耗。
另外一个很容易注意到的地方就是：对于一个最优决策中的任意一个数对(x,y,z)，其中x和y必在有序的a[i]中相邻。关于这点用反证法不难证明，也很容易注意到。
对于(x,y,z)中的z应该如何决策的问题，之前一直令我迷惑，这一点应该是题目最难解决的问题。

考虑状态d[i][j]:
    对于x和y，有如下考虑：
        对于a[j]，如果不使用a[j]，那么d[i][j]=d[i][j-1]；
        如果使用a[j]，那么就和a[j-1]一起使用，d[i][j]=d[i-1][j-2]+w(a[i],a[i-1])；
    于是有了总的状态转移方程：d[i][j]=min{d[i][j-1],d[i-1][j-2]+w(a[i],a[i-1])}；
    这应该不难理解，但是对于z的决策呢？
    如果把a[i]按降序排列，那么z的影响就可以忽略了！这样依然可以采用上面的方程。

考虑状态d[i][j]：
    如果j<3i，此时当前策略是不可行的，d[i][j]=INF；
    如果j>=3i，即j>=3(i-1)+3，j>3(i-1)+2，当前状态有效
        转移到d[i-1][j-2]时，至少剩余一个多余的a[k]
        由于序列降序，a[k]可以和a[j]、a[j-1]配对
        同时d[i-1][j-2]有效，可以继续递归。
        转移到d[i][j-1]
        若d[i][j-1]为无效状态，d[i][j-1]==INF，必然不会比上面那种转移方式优；
        若d[i][j-1]为有效状态，可以继续递归地进行下去。