UVALive-7304 - Queue of Soldiers 【动态规划】【组合函数】【好题】

UVALive- 7304 - Queue of Soldiers

题目链接：7304

题目大意：士兵过山洞，必须以类似7 6 5 4 3 2 1顺序过。在第i个人之后，比i高的人都会被杀死，问如果要杀死k个人，有几种排队方法。

题目思路：先将士兵的身高离散化。假设N表示不同身高的数目。cnt[i] 表示i这个身高的人有多少个。（i的范围为1~N）sum[i]表示小于等于该身高段的士兵数目

然后开始dp，dp[i][j]表示已经到第i个士兵，已经死了j个人的方法数。

第三维遍历，q表示，第i+1这个身高段死了q个人。

dp[i + 1][j + q] ： 到第i + 1这个身高段，死了j + q个人

dp[i + 1][j + q] = dp[i][j] * C(sum[i] + q - 1,q) (C表示求组合数)

eg： 222111,死一个人，将q个3排进去的方法数为，插空总共有sum[i] + q个位置，取q个。即C（sum[i] + q,q），因为最前面这个位置不能排，3死不掉，所以是C(sum[i] + q - 1,q);

注意求组合函数，先求阶乘再求逆元。

注意dp初始化。

以下是代码：

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <fstream>
#include <sstream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <string>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <vector>
#include <queue>
#include <deque>
#include <list>
using namespace std;

typedef long long ll;
int N;  //不同高度的士兵个数
int num[50005];
int cnt[105];   //i高度的士兵个数
int sum[105];  //小于等于i高度的士兵个数
int n,k;
long long dp[105][2005];
#define mod 1000000007
//====求组合函数===
#define MAXV 52000
long long fact[MAXV];
long long inv[MAXV];
inline long long expo(long long a, long long b)
{
    long long res = 1;
    while(b != 0)
    {
        if (b & 1) res = (res * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        b >>=1;
    }
    return res;
}
inline long long binomial(int n,int k)
{
    long long res = ((long long)inv[k] * inv[n - k]) % mod;
    return (res * fact[n]) % mod;
}
void Generate()
{
    int i;
    fact[0] = 1;
    for (i = 1; i < MAXV; i++) fact[i] = ((long long)fact[i - 1] * i) % mod;
    for (i = 0; i < MAXV; i++) inv[i] = expo(fact[i], mod - 2);

}
//=====END======
void solve()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for (int i = 0; i < 103; i++) dp[i][0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++)   //到第i个人
    {
        for (int j = 0; j <= k; j++)  //死了j个人
        {
            for (int q = 0; q <= cnt[i+1] && j + q <= k; q++) //i+1这个高度,死了q个人(比如3这个高度有4个人，q可以是0，1，2，3，4)
            {
                if (j + q == 0) continue;
                dp[i + 1][j + q] = (dp[i + 1][j + q] + dp[i][j] * binomial(sum[i] + q - 1,q)) % mod;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    int Case = 1;
    Generate();
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&k);
        N = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%d",&num[i]);
        }
        sort(num,num + n);
        memset(cnt,0,sizeof(cnt));
        int p = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++)
        {
            if (num[i] != num[i - 1])
            {
                cnt[N++] = p;
                p = 1;
            }
            else p++;
        }
        cnt[N++] = p;

        sum[0] = 0;
        for (int i = 1; i < N; i++)
        {
            sum[i] = sum[i - 1] + cnt[i];
        }
        solve();
        printf("Case %d: ",Case++);
        printf("%lld\n",dp[N-1][k] % mod);
    }
    return 0;
}
/*
 1
 10 5
 1 2 3 4 4 4 4 4 4 4
 //86

 1
 10 6
 1 2 3 4 4 4 5 5 6 10
 //61180

 1
 10 4
 1 2 3 4 4 4 5 5 6 10
 //10385

 1
 10 5
 1 2 3 4 4 4 5 5 6 10
 //30101