51 NOD 1188 最大公约数之和 V2（基础数论）

传送门
给出一个数N，输出小于等于N的所有数，两两之间的最大公约数之和。计算这段程序

G=0; 

for(i=1; i < N;i++)

for(j=i+1;j<=N;j++)

{

       G+=gcd(i,j);
}

Input

第1行：1个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。(1 <= T <= 50000)

第2 - T + 1行：每行一个数N。(2 <= N <= 5000000)

Output

共T行，输出最大公约数之和。

Input示例

3

10

100

200000

Output示例

67

13015

143295493160

解题思路：
题目要求就是让求 $\le N$ 的两两之间的最大公约数和，也就是：$\sum_{i=2}^N\sum_{j=1}^{i-1}GCD(i,j)$

那么以前讲过一道题是给两个数 $n$ 和 $m$ $(m\le n)$ ，让你求 $[1,n]$ 与 $m$ 的 $GCD$ 是和多少。

设 $GCD(m,i)==x$， 那么 $GCD(m/x,i/x)==1$，那么这个问题可以转化为$[1,i/x]$ 区

间中 与 $i/x$ 互素的个数有多少个，求出来之后再乘以 $x$

就是： $\sum_{i=1,i|n}^{n} phi(n/i)*i$ 其中 $phi(i) 是 i 的欧拉函数值$

那么我们现在要求的这个问题也可以转为这个：

$结果 =\sum_{i=2}^N\sum_{j=1}^{i-1}GCD(i,j)$

$\\=\sum_{i=2}^N\sum_{j=1,j|i}^{i-1}phi(\frac ij)*j$

$\\=\sum_{i=1}^N\sum_{j=2}^{N}i*phi(j)——(if$ $i*j<=N)$

$My$ $Code：$

/**
2016 - 08 - 10 下午
Author: ITAK

Motto:

今日的我要超越昨日的我，明日的我要胜过今日的我，
以创作出更好的代码为目标，不断地超越自己。
**/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <bitset>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const LL MAXN = 5e6+50;
const double eps = 1e-7;
const double PI = acos(-1.0);
using namespace std;
bool flag[MAXN];///标记数组
LL phi[MAXN];///欧拉函数值，i的欧拉函数值=phi[i]
LL p[MAXN];///素因子的值
LL cnt = 0;
void Get_phi()///筛法求欧拉函数
{
    cnt = 0;
    memset(flag, true, sizeof(flag));
    phi[1] = 1;
    for(LL i=2; i<MAXN; i++)///线性筛法
    {
        if(flag[i])///素数
        {
            p[cnt++] = i;
            phi[i] = i-1;///素数的欧拉函数值是素数 - 1
        }
        for(LL j=0; j<cnt; j++)
        {
            if(i*p[j] > MAXN)
                break;
            flag[i*p[j]] = false;///素数的倍数，所以i*p[j]不是素数
            if(i%p[j] == 0)///性质：i mod p == 0, 那么 phi(i * p) == p * phi(i)
            {
                phi[i*p[j]] = p[j] * phi[i];
                break;
            }
            else
                phi[i*p[j]] = (p[j]-1) * phi[i];///i mod p != 0, 那么 phi(i * p) == phi(i) * (p-1)
        }
    }
}
LL ans[MAXN];
void Init()
{
    Get_phi();
    memset(ans, 0, sizeof(ans));
    for(LL i=1; i<MAXN; i++)
        for(LL j=2; j<MAXN; j++)
            if(i*j < MAXN)
                ans[i*j] += phi[j]*i;
            else
                break;
    for(LL i=1; i<MAXN; i++)
        ans[i] += ans[i-1];
}
int main()
{
    Init();
    LL T, N;
    scanf("%I64d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%I64d", &N);
        printf("%I64d\n",ans[N]);
    }
    return 0;
}