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第二节、矩阵消元

时间:2016-08-10 22:39:02      阅读:1738      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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一、矩阵消元

  在解方程组时我们经常用到消元法,通过对方程的倍乘、加减等操作可以得到所求方程的解。既然方程组可以用消元法进行求解,那么方程组变成矩阵自然也可以使用消元法。

  我们召唤一个方程组技术分享 ,本来想先用方程组演示消元法的,但是方程组书写上太麻烦,所以,直接用矩阵演示了~~

  我们拿出它的系数矩阵技术分享

 消元的知识准备:对系数矩阵消元

  我们保留矩阵的第一行,然后消去下方所有行的多余变量

  先从x位置开始。

  既然要消去x,那么我们只需要关心矩阵的第一列,如图技术分享

  在图中我们可以看到,关键的位置是红色标记的1(我们将这种位置的数字称为“主元”,因为它是第一个出现的,所以叫它“主元一”),而我们的目的是将蓝色标记的位置都变成0。

  操作很简单,第一行不变(因为它是主元行),第二行整体减去一倍的第一行,第三行不做变化(因为它本来就是0)。

  于是我们得到了如下图的矩阵技术分享,可以看到,第一列的元素除了第一行都变成了0。

  然后,我们处理y。

  继续观察矩阵技术分享

  如今,-3是新的主元(主元二),而我们要消去的是蓝色位置的1。

  操作依旧简单,第一、二行都不变,将第三行减去-1/3倍的第二行。

  然后得到这样的一个矩阵技术分享。(把主元标记一下技术分享

  事实上对系数矩阵的消元到这里就结束了,我们得到了一个上三角矩阵(因为它只有上半部分的三角形里有数字),我们用U表示它。

  顺便一提,消元时主元不能为0,如果主元为0,可以将主元所在的行与它下面的主元位置非0的行进行交换(比如技术分享 变成技术分享)。

  再顺便一提,行列式的值就是主元的乘积,所以该矩阵行列式得9

  如果没有可以进行交换的行,方程无解,这种情况以后再讨论。

 消元的第一步:对增广矩阵消元

  在正常的对方程组的消元过程中,等号右边的项与左边进行相同的操作,在矩阵中也是一样。

  对于方程组技术分享,我们得到了它的系数矩阵A:技术分享,然后,我们把它等号右边的部分b:技术分享放到A中,得到一个新矩阵:技术分享

  我们管这个新矩阵叫做“增广矩阵”,因为它相对于原矩阵增加了一列。

  对于增广矩阵的每一行,我们作与上方系数矩阵消元相同的操作(换句话说,就是在对系数矩阵消元的过程中连带着变换增加的那一列)

  注:正常的消元直接操作增广矩阵即可,上面对系数矩阵单独消元只是为了加深各位的理解。

 消元的第二布:回代

  经过上面的变换,增广矩阵变成了这个样子:技术分享

  把它改写成方程组技术分享

  求解,得到x=-1/9,y=-4/9,z=7/9(WTF)

 二、消元矩阵

  上方我们讨论了如何进行矩阵消元,现在,让我们换一种思考方式,用矩阵来表示消元的过程。

 (1)预备知识

  之前我们曾讨论过矩阵乘向量的问题,我们的结论是:矩阵乘向量的结果实际是矩阵列的线性组合。

  但是,矩阵消元用到的都是矩阵的行,那么,矩阵的行之间是否也有相似的性质呢?按套路来讲,如果没有这种性质我就不会问这个问题了。

  事实上,当一个向量乘一个矩阵时,得到的结果就是该矩阵行的线性组合。

  比如技术分享,其结果相当于1*[1 1] + 2*[1 -2] = [3 -3]。

  这里加上一些略微超前的概念:在一个矩阵A的左边乘一个矩阵,就是对A进行行变换,而在A右边乘一个矩阵,就是对A进行列变换。

 (2)用矩阵消元

  我们依然用技术分享这个方程进行演示,拿出它的系数矩阵A:技术分享

  还记得我们的步骤么?

  首先,保持第一行不变,第二行整体减去一倍的第一行,第三行同样不变。

  总结一下,我们需要拿出-1倍的第一行,然后将它和第二行进行线性组合(相加),然后其他行不变(注意,在矩阵消元时我们是用两行相减,而“线性组合”是相加)。

   按照需求,我们只需要在A的左边乘上技术分享(我们用E1表示这个矩阵)

  为什么是这个矩阵?我们一行一行地看。

  首先,A的第一行不变,因此我们需要拿出A的1个第一行,0个第二行,0个第三行(进行线性组合),于是1 0 0组成了E1的第一行。

  然后,我们需要-1个A的第一行,1个第二行,0个第三行进行线性组合,所以 -1 1 0组成了E1的第二行。

  第三行不变,因此需要0个第一行,0个第二行,1个第三行,所以E1的第三行是0 0 1

  经过变换,我们得到了技术分享

  然后,我们保持一、二行不变,将1/3个第二行与第三行进行线性组合

  可以自己写出需要左乘的矩阵吗?尝试着自己推导一下

  你的结果是它吗技术分享 ?我们用E2来表示这个矩阵。

  经过这次变换,我们得到了我们想要的矩阵U:技术分享

  现在,我们可以用一个式子来表达消元的全过程了:

  E2(E1A)=U

  看到这里,可能有的强迫症患者或者完美主义者会发发牢骚:这个式子还是太过臃肿

  所以

  最后,我们合并消元步骤

  我们想要的结果是类似于EA=U这样的干净整洁的式子,怎么做到呢?

  在这里需要引入一条新的有关矩阵乘法的性质:矩阵乘法满足结合律(但不满足交换律)

  换句话说,E2(E1A)=(E2E1)A。(但AB≠BA)

  于是E=(E2E1),我们管E叫做消元矩阵。

三、置换矩阵

  此为附加内容

 行交换

  我们消元时通过左乘矩阵实现了行与行的线性组合,那么,如果想要将两行进行交换,需要怎么做呢?

  召唤个矩阵先:技术分享

  假设我们想要这个矩阵的第一二行(得到技术分享

  对于新矩阵的第一行,我们相当于拿出了0个原矩阵的第一行,1个原矩阵的第二行,0个原矩阵的第三行。

  对于新矩阵的第二行,我们相当于拿出了1个原矩阵的第一行,0个原矩阵的第二行,0个原矩阵的第三行。

  对于新矩阵的第三行,我们相当于拿出了0个原矩阵的第一行,0个原矩阵的第二行,1个原矩阵的第三行。

  因此,我们只需在原矩阵的基础上左乘一个技术分享。(各行颜色不同是为了便于理解其构成方式,没有其他特别含义)

  我们管左乘的这个矩阵叫做置换矩阵,用P表示。

 列交换

  之前提到过,左乘即操作行,右乘即操作列

  召唤一个矩阵:技术分享

  想要交换这个矩阵的第一二列,得到技术分享

  对于新矩阵的第一,我们相当于拿出了0个原矩阵的第一列,1个原矩阵的第二列,0个原矩阵的第三列。

  对于新矩阵的第二列,我们相当于拿出了1个原矩阵的第一列,0个原矩阵的第二列,0个原矩阵的第三列。

  对于新矩阵的第三列我们相当于拿出了0个原矩阵的第一列,0个原矩阵的第二列,1个原矩阵的第三列。

  所以,只需要右乘技术分享

  注意:这个矩阵虽然和上面交换行的置换矩阵长相相同,但性质与构成的方式却完全不同(行交换的置换矩阵是一行一行构成的,而列交换的却是一列一列构成的)

 

第二节、矩阵消元

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原文地址:http://www.cnblogs.com/Dumblidor/p/5751579.html

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