BZOJ 2301: [HAOI2011]Problem b（莫比乌斯反演 + 容斥原理 + 分块优化）

传送门

Problem 2301. – [HAOI2011]Problem b

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output

HINT

解题思路：

首先我们可以看一下这个题目 传送门 ，HDU这个题比BZOJ这个题简单，这个题目

首先利用容斥原理将这个答案拆分成四个询问，每次询问都是有多少个数对 $(x,y)$ 满足

$1 \leq x \leq N,1 \leq y \leq M$ 而且 $GCD(x,y)==k$,这个题目可以和上次一样转化为有

多少个数对 $(x,y)$ 满足 $1 \leq x \leq floor(\frac N k),1 \leq y \leq floor(\frac M k)$，同时满足

$GCD(x,y)=1$,然后令 $f(i)$ 为 $1\leq x\leq N,1\leq y\leq M,而且 GCD(x,y)==1$

的数对个数，令 $F(i)是 GCD(x,y)==k的倍数的个数$，显然有

经过莫比乌斯反演之后得到：

然后经过观察发现 $floor(\frac n d)$ 最多有 $2\sqrt n$ 个取值，然后枚举除法，写一个莫比乌斯的

前缀和就行了。

$My$ $Code：$

/**
2016 - 08 - 17 晚上
Author: ITAK

Motto:

今日的我要超越昨日的我，明日的我要胜过今日的我，
以创作出更好的代码为目标，不断地超越自己。
**/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const int INF = 1e9+5;
const int MAXN = 1e5+5;
const int MOD = 1e9+7;
const double eps = 1e-7;
const double PI = acos(-1);
using namespace std;
LL Scan_LL()///输入外挂
{
    LL res=0,ch,flag=0;
    if((ch=getchar())==‘-‘)
        flag=1;
    else if(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)
        res=ch-‘0‘;
    while((ch=getchar())>=‘0‘&&ch<=‘9‘)
        res=res*10+ch-‘0‘;
    return flag?-res:res;
}
int Scan_Int()///输入外挂
{
    int res=0,ch,flag=0;
    if((ch=getchar())==‘-‘)
        flag=1;
    else if(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)
        res=ch-‘0‘;
    while((ch=getchar())>=‘0‘&&ch<=‘9‘)
        res=res*10+ch-‘0‘;
    return flag?-res:res;
}
void Out(LL a)///输出外挂
{
    if(a>9)
        Out(a/10);
    putchar(a%10+‘0‘);
}
LL mu[MAXN], p[MAXN], k;
bool prime[MAXN];
void Mobius()
{
    memset(prime, 0, sizeof(prime));
    mu[1] = 1, mu[0] = 0;
    k = 0;
    for(int i=2; i<MAXN; i++)
    {
        if(!prime[i])
        {
            p[k++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j=0; j<k&&i*p[j]<MAXN; j++)
        {
            prime[i*p[j]] = 1;
            if(i%p[j] == 0)
            {
                mu[i*p[j]] = 0;
                break;
            }
            mu[i*p[j]] = -mu[i];
        }
    }
    for(int i=1; i<MAXN; i++)
        mu[i] += mu[i-1];
}
int kk;
LL Solve(int m, int n)
{
    LL ret = 0;
    m /= kk, n /= kk;
    int tp = 0;
    for(int i=1; i<=m&&i<=n; i=tp+1)
    {
        tp = min(n/(n/i),m/(m/i));
        ret += (mu[tp]-mu[i-1])*(m/i)*(n/i);
    }
    return ret;
}
int main()
{
    Mobius();
    int T, a, b, c, d;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&kk);
        LL ans = Solve(b, d) - Solve(a-1, d) + Solve(a-1, c-1) - Solve(b, c-1);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}