hihocoder 1237 Farthest Point

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分析：

题目大意

给定平面直角坐标系中的一个圆，求圆内（可以在边界上）离圆心最远的整点。

解题思路

本题是一道简单的计算几何类题目。

要求园内的整点，即x和y坐标均为整数的点，首先我们需要求出可能的x和y的范围。

先考虑x，显然x的上下界分别为x+r和x-r。

由于题目给定的x和r均为实数，因此x+r和x-r也可能不为整数。

所以实际上包含在圆内的x坐标上下界分别为floor(x+r)和ceil(x-r)。（floor表示下取整，ceil表示上取整），（如果使用强制转换类型则当（x+r）< 0 时会出错）

在确定了x以后，其对应的y坐标范围也可以随之确定。如下图所示，根据勾股定理，我们即可求出d的长度。

同时可以得到对应的y坐标上下界为y+d至y-d。显然这两个值也有可能不为整数。

因此实际的y坐标范围为floor(y+d)和ceil(y-d)。

通过这两个步骤，我们就可以得到所有在圆内的点：

For tx = floor(x+r) .. ceil(x-r)
    d = sqrt(r*r - (tx-x)*(tx-x)) // 勾股定理
    For ty = floor(y+d) .. ceil(y-d)
        // (tx, ty) 是在圆内的点
        // 更新比较最优点
    End For
End For

由于本题给定的r长度最大为100,000，则可能出现在圆内的点最大可能为314亿个点。

直接枚举每个点来寻找最优值显然是不合理的，我们需要优化这个算法。

通过观察我们可以发现，在确定x坐标之后，所有的y坐标中越靠近两端的点一定比靠近中间的点离圆心远。

所以实际上我们只需要比较最两端的两个点，他们之中离圆心最远的点一定就是该x坐标下离圆心最远的点。

因此改进算法为：

ret_x = x
ret_y = y
For tx = floor(x+r) .. ceil(x-r)
    d = sqrt(r*r - (tx-x)*(tx-x)) // 勾股定理
    // 由于要求最大值，我们先考虑y坐标较大的一边
    ty = floor(y+d)
    If (tx,ty) is better than (ret_x, ret_y) Then
        ret_x = tx
        ret_y = ty
    End If
    // 再考虑坐标值较小的一边
    ty = ceil(y-d)
    If (tx,ty) is better than (ret_x, ret_y) Then
        ret_x = tx
        ret_y = ty
    End If
End For

使用改进的算法时间复杂度为O(R)，可以顺利的通过所有的测试点。

关于精度问题

在计算几何的计算中，精度问题是一个很常见的问题。

这是由于计算机存储浮点数时保留的精度有限而产生的。

即使用两个实型变量来存储同一个数字，都有可能产生误差。

因此在判定实型变量大小关系时，若直接采用=,>或<进行比较，很有可能出错。

一般常见的解决方法是设定一个极小量epsilon(一般写作eps)来辅助比较。

比如判定两个浮点数是否相等时，我们检查两个浮点数之间的差值。若差值小于eps时，我们就认为这两个浮点数相等：

equals(double x, double y):
    eps = 1e-6 // 根据题目要求的精度范围来设定eps
    If (abs(x - y) < eps) Then
        Return True
    End If
    Return false

同样，其它比较符号也需要做对应的修改，具体可以参考下表：

原符号      修正
a == b      abs(a-b) < eps
a != b      abs(a-b) > eps
a > b       a-b > eps
a >= b      a-b > -eps
a < b       a-b < -eps
a <= b      a-b < eps

出错点：将初始点设置为圆心。。。。试了很多次都没有完全对。。。于是采用了另一种办法，如下代码：

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <math.h>
 3 
 4 double dis(double x, double y, double tx, double ty){
 5     double dist = sqrt((tx - x) * (tx - x) + (ty - y) * (ty - y));
 6     return dist;
 7 }
 8 
 9 int main(){
10     double eps = 1e-7;
11     double x, y, r;
12     int ret_x, ret_y, tx, ty;
13     double max = 0;
14     scanf("%lf%lf%lf", &x, &y, &r);
15     for(tx = floor(x+r); tx >= ceil(x-r); tx--){
16         double d = sqrt(r*r - (tx - x) * (tx - x));
17         ty = floor(y + d);
18         if(dis(x, y, tx, ty) - max > eps){
19             ret_x = tx;
20             ret_y = ty;
21             max = dis(x, y, tx, ty);
22         }
23         ty = ceil(y - d);
24         if(dis(x, y, tx, ty) - max > eps){
25             ret_x = tx;
26             ret_y = ty;
27             max = dis(x, y, tx, ty);
28         }
29     }
30     printf("%d %d", ret_x, ret_y);
31     return 0;
32 }