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bzoj1856: [Scoi2010]字符串

时间:2016-08-18 23:22:38      阅读:192      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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1856: [Scoi2010]字符串

Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 64 MB
Submit: 1301  Solved: 719
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Description

lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务,任务需要他把n个1和m个0组成字符串,但是任务还要求在组成的字符串中,在任意的前k个字符中,1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个,聪明的程序员们,你们能帮助他吗?

Input

输入数据是一行,包括2个数字n和m

Output

输出数据是一行,包括1个数字,表示满足要求的字符串数目,这个数可能会很大,只需输出这个数除以20100403的余数

Sample Input

2 2

Sample Output

2

HINT

【数据范围】
对于30%的数据,保证1<=m<=n<=1000
对于100%的数据,保证1<=m<=n<=1000000

Source

分析:如果题目仅仅给出了例如n,m的几个大数据,让你求几乎“毫不相干”的数据,那么可能就要用到递推或者公式(也就是数学方法啦).这道题感觉可以用dp做,但是时间承受不了,而能神奇地降低时间复杂度的也就只有数学方法了.         
          如果直接用数学方法做看起来并不好做,转换一下,在一个平面直角坐标系中,从点(0,0)到点(n + m,n - m),一个1相当于从(0,0)向(1,1)的方向走,一个0相当于(0,0)向(1,-1)的方向走,同时不能走到直线y = -1上,可以证明,如果要走n个1,m个0必然要走到(n + m, n - m),求方案数,可以想到用dp或者直接组合数搞起,先考虑没有限制条件的,可以发现n个1是必须取完的一共要取n + m个数,那么要在n + m个数中取n个数,自然方案数就是C(n + m,n),符合条件的方案数=总方案数-不符合条件的方案数,那么我们求出不符合条件的方案数,怎么求呢?可以想象一下把直线y = -1上面的翻折下来,即从点(0,-2)到点(n + m, n - m)经过直线y = -1的方案数,显而易见,肯定经过直线y=-1,关键就是怎么求方案数,走到(n+m,n-m)需要向上走n-m+2次,一共要走n+m次。设向上向下各走x,y,那么x+y=n+m,x-y=n-m+2得到x=n+1,y=m-1,所以不合法的方案为C(n+m,n + 1)。然后就是求组合数的过程.因为组合数只需要用到1次,显然不需要递推,那么就直接算,但是要涉及到取模,除法取模运算不成立!怎么办?用逆元!若,b*b1 % c == 1则,b1称为b模c的乘法逆元。 ( a/b ) % c == ( a*b1 ) % c ,那么问题就是怎么求b1, -k*c + b*b1 == 1,不是扩展欧几里得算法吗?那么直接算就好了.
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int mod = 20100403;
long long ans;
int n, m;

void exgcd(long long a, long long b, long long & x, long long &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
    }
    else
    {
        exgcd(b, a%b, x, y);
        long long t = x;
        x = y;
        y = t - a / b * y;
    }
}

long long niyuan(long long a, long long p)
{
    long long x, y;
    exgcd(a, p, x, y);
    x = (x + mod) % mod;
    return x;
}

long long Sum(long long x)
{
    long long temp = 1;
    for (int i = 1; i <= x; i++)
    {
        temp = (temp * i) % mod;
    }
    return temp;
}

long long C(long long x, long long y)
{
    long long a, b, c;
    a = Sum(x);
    b = Sum(y);
    c = Sum(x - y);
    return a * niyuan(b, mod) % mod * niyuan(c, mod) % mod;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    ans = (C(n + m, n) - C(n + m, n + 1) + mod) % mod;
    printf("%lld", ans);

    return 0;
}

 

bzoj1856: [Scoi2010]字符串

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原文地址:http://www.cnblogs.com/zbtrs/p/5785553.html

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