《算法之道》精华难解问题部分

时间：2014-08-09 11:36:37 阅读：203 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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《算法之道》精华难解问题部分

本书作者绉恒明，作者另有一本书《数据结构之弦》，以及《操作系统之哲学原理》都是很好的书
这本书可以算得上是深入浅出，文笔很好，作者添加了很多自己的思考
本文包括难解问题部分

第十三章易解与难解

易解指的是多项式问题，难解指的是指数级问题
决策问题
- 需要输出答案是/否
- 若回答为是，通常需要一个证人来证明。对一个潜在证人，证明之后即为真证人
- 优化问题和决策问题之间可以相互转化
P类问题
- 确定性多项式时间可解
- 对于一个决策问题，输入的大小为n，能在n的多项式时间内解决，正确输出是/否
NP类问题
- 非确定性多项式时间可解
- 对于一个决策问题，大小为n的潜在证人，能在n的多项式时间内解决，正确输出此证人是否为真
- P类问题指的是能否多项式时间给出答案，NP类问题指的是能否在多项式时间内判断一个潜在答案是否正确
（确定性）图灵机
- 图灵机为一个状态机，根据当前状态、下一个输入字符确定输出、磁头移动方向、下一个状态
- 任一个问题、算法都能表述为一个字符串，因此图灵机可以解决很多问题
非确定性图灵机
- 与确定性图灵机相比，给定状态与输入可以有多种选择
- 能够同时进入所有状态路径，且能做出最好的选择以达到接受状态
- 非确定性算法：在非确定性图灵机上运行的算法
- NP问题的另一个定义：使用非确定性算法，在多项式时间内解决
P与NP的关系
- 所有P类问题都是NP的
- 所有NP不一定是P，直觉如此，但无法证明
- 部分NP为P，目前已经找到多项式解法，目前没有找到多项式解法的NP问题称为NP-hard

第十四章 NP完全问题

如果NP里每一个问题都可以多项式时间规约到S，则S称为NP难（严谨的定义）。S不比NP里面任一问题容易
如果问题S既是NP难，又是NP里的问题，则称为NP完全问题
NP完全的属性
- 非确定性算法多项式时间可解
- 完全：解决一个就解决了所有NP完全问题
若找到一个NP完全问题的确定性解法，就证明了NP=P
若找到一个NP难优化问题的多项式时间解，就证明了NP=P
NP完全的意义：若能证明一个问题为NP完全问题，则无需再寻找精确解，找到启发性的近似解即可
常见NP完全问题
- 3-SAT
- 整数分割
- 顶点覆盖
- 汉密尔顿回路可规约至旅行商问题
- 完全子图
- 图的着色
- 旅行商
- 整数规划属于NP难问题，但不是NP问题，因此不是NP完全问题

第十五章无解与近似

NP完全只是NP里最难的问题，目前没有找到多项式解法
难解问题不存在多项式解法
不可决定问题：是无解的，即使是指数级也无济于事。但又潜在证人
对于NP完全和难解问题，可以尝试找出次优解
- 智能穷举
  - 能找的最优解
  - 两种剪枝策略：回溯法、分支限界
  - 如八皇后问题
- 近似算法
  - 能找到近似的解
  - 如聚类问题、启发式搜索、模拟退火、遗传算法
- 本地搜索
  - 一种贪婪策略
  - 不断向更优的可行解移动，可能仅能找到局部最优解