做了这道题目,我才发现一道题即便可行,但是正确性也不一定。多数由于题目数据太弱。
题目大意:有6堆石头,权重分别为1 2 3 4 5 6,要求输入 每堆个数 ,求是否可以平分石头使得两堆价值相同。
网上对这道题的做法就两种,其中有错误的版本,却也可以AC。起初这让我等菜鸟感慨代码的简洁,但无法得出正确性的证明
接下来就对两种方法的错误性进行证明。
1.多重背包
#include <map> #include<string> #include <iostream> #include<stack> #include<algorithm> #include <math.h> using namespace std; #define MAXN 100+60000 int v[MAXN]; int a[MAXN/3]; int b[7] = {1, 60, 30, 20, 15, 12, 10}; int N,T,n,sum; /*int direct[4][2]={-1,0,1,0,0,-1,0,1}; int dp[210][210][210];*/ int max(int a,int b) { return a>b?a:b; } int main() { int i,j,k,flag,casenum; casenum=0; while(1) { casenum++; memset(v,0,sizeof(v)); flag=0; sum=0; n=0; for(i=0;i<6;i++) { scanf("%d",&k); if(k) flag=1; k=k%b[i+1]; sum+=k*(i+1); for(j=1;j<=k;j++) a[n++]=i+1; } if(flag==0) break; if(sum&1) { printf("Collection #%d:\nCan't be divided.\n\n",casenum); continue; } flag=0; sum/=2; v[0]=1; for(i=0;i<n;i++) { for(j=sum;j>=a[i];j--) { v[j]+= v[j-a[i]]; if(v[sum]) { flag=1;break; } if(flag) break; } } if(flag) printf("Collection #%d:\nCan be divided.\n\n",casenum); else printf("Collection #%d:\nCan't be divided.\n\n",casenum); } return 0; }
状态定义的是有几种方法可以转到这里来
这句是一种优化,起初看到,觉得很神奇,但并不理解为什么可以这样做。
后来证明是错误的,证明如下:
取模优化是错误的,下面证明优化一堆的情况
1.1a+2b+3c+4d+5e+6f
2.60*m*t+ 1a+2b+3c+4d+5e+6f(t是某堆石子的个数,m是某堆石子的权重)
证明优化正确即证明1 是 2 式是充分必要条件
当1成立时候,自然得到2成立(60可以分到两堆)
当2成立有两种情况,
第一种情况,2可分,1的部分本身可分,那么60*m*t 这部分本来分掉就好
第二种情况,2可分,1的部分本身不可分,需要将60*m*t这部分拆解分到两人才可行
由此得证将某个拆分掉是不可行的,但是不排除每堆都优化会遇到碰巧可行的情况
最后举个例子给大家
1. 0 0 0 0 66 5 -> 0 0 0 0 6 5 ture
2. 60 0 0 0 0 1 -> 0 0 0 0 0 1 fault
优化还是用2进制的方法优化吧(1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1,且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如,如果n[i]为13,就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品)
2. dfs版本(转载于大牛Blog)
//Memory Time //452K 0MS /*DFS*/ #include<iostream> using namespace std; int n[7]; //价值为i的物品的个数 int SumValue; //物品总价值 int HalfValue; //物品平分价值 bool flag; //标记是否能平分SumValue void DFS(int value,int pre) { if(flag) return; if(value==HalfValue) { flag=true; return; } for(int i=pre;i>=1;i--) { if(n[i]) { if(value+i<=HalfValue) { n[i]--; DFS(value+i,i); if(flag) break; } } } return; } int main(int i) { int test=1; while(cin>>n[1]>>n[2]>>n[3]>>n[4]>>n[5]>>n[6]) { SumValue=0; //物品总价值 for(i=1;i<=6;i++) SumValue+=i*n[i]; if(SumValue==0) break; if(SumValue%2) //sum为奇数,无法平分 { cout<<"Collection #"<<test++<<':'<<endl; cout<<"Can't be divided."<<endl<<endl; //注意有空行 continue; } HalfValue=SumValue/2; flag=false; DFS(0,6); if(flag) { cout<<"Collection #"<<test++<<':'<<endl; cout<<"Can be divided."<<endl<<endl; continue; } else { cout<<"Collection #"<<test++<<':'<<endl; cout<<"Can't be divided."<<endl<<endl; continue; } } return 0; }这个版本dfs写的很好,其中这个深度优先有两个优点值得思量
1.为什么没有回溯,而是直接减去了数量n[i]--;
答:两个人选择,必然是将这部分分为两份,如果不选择到最接近的数字,那剩余的则是更接近的
2.从大到小选择?
答:可能有多个小的可以用一个大的数字直接替换掉
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但是存在问题。
其本质是使用了贪心的策略,但无法满足有些“跳跃”的要求
eg: 0 0 3 0 3 1 需要选取的数字是不连续的,其实还要有回溯的。
避免这个问题可以用这个版本
void divide(int cur_value, int cur_index) { // set break point if (flag) return; if (cur_value == half_value) { flag = true; return; } if (cur_value > half_value || cur_index >= max_index) return; divide(cur_value+array[cur_index], cur_index+1); divide(cur_value, cur_index+1); }
看来在学习的过程中还是要慎行慎信
证明 poj 1014 取模优化剪枝,部分递归 存在错误,布布扣,bubuko.com
原文地址:http://blog.csdn.net/gg_gogoing/article/details/38453273