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超大背包问题：有n个重量和价值分别为w[i]和v[i]的物品，从这些物品中挑选总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。其中，1 ≤ n ≤ 40， 1 ≤ w[i], v[i] ≤ 10^15, 1 ≤ W ≤ 10^15.
这个问题给人的第一感觉就是普通的01背包。不过，看完数据范围会发现，这次价值和重量都可以是非常大的数值，相比之下n比较小。使用DP求解背包为题的复杂度是O(nW)，因此不能用来解决这个问题。此时我们应该利用n比较小的特点来寻找其他方法。
挑选物品的方案总共有2^n种，所以不能直接枚举，但是如果将物品分成两半再枚举的话，由于每部分最多只有20个，这是可行的。我们把前半部分中的挑选方法对应的重量和价值总和记为w1、v1，这样在后半部分寻找总重w2 ≤ W - w1时使v2最大的选取方法即可。
因此，我们要思考从枚举得到的（w2，v2）集合中高效寻找max{v2|w2 ≤ W‘}的方法。首先，显然我们可以排除所有价值小重量大的状态；这一点可以按照w2、v2的字典序排序后做到。此后剩余的元素都满足w2[i] < w2[j] <=> v2[i] < v2[j]，要计算max{v2|w2 <= W‘}的话，只要寻找满足w2[i] <= W‘的最大的i就可以了。这可以用二分搜索完成，剩余的元素个数为M的话，一次搜索需要O(logM)的时间。因为M≤2^(n/2)，所以这个算法总的时间复杂度是O(n * 2^(n/2))，可以在实现内解决问题。
#include<iostream> #include<algorithm> #include<string.h> #include<stdio.h> #include<math.h> #include<vector> using namespace std; #define N 4005 #define PI 4*atan(1.0) #define mod 1000000007 #define met(a, b) memset(a, b, sizeof(a)) typedef long long LL; struct node { LL w, v; friend bool operator < (node p, node q) { if(p.w != q.w) return p.w < q.w; return p.v < q.v; } }a[1<<20]; LL w[N], v[N], W; int n; int Find(int L, int R, LL num) { int ans = L; while(L<=R) { int Mid = (L+R)/2; if(a[Mid].w < num) { ans = Mid; L = Mid+1; } else R = Mid-1; } return ans; } int main() { while(scanf("%d %I64d", &n, &W)!=EOF) { for(int i=0; i<n; i++) scanf("%I64d", &w[i]); for(int i=0; i<n; i++) scanf("%I64d", &v[i]); int half = n/2; for(int i=0; i<(1<<half); i++) { LL sw = 0, sv = 0; for(int j=0; j<half; j++) { if( (i>>j) & 1)/// i&(1<<j); { sw += w[j]; sv += v[j]; } } a[i].w = sw; a[i].v = sv; } sort(a, a+(1<<half)); int m = 1; for(int i=1; i<(1<<half); i++)///去重； { if(a[m-1].v < a[i].v) a[m++] = a[i]; } LL ans = 0; for(int i=0; i<(1<<(n-n/2)); i++) { LL sw = 0, sv = 0; for(int j=0; j<(n-n/2); j++) { if( (i>>j) & 1)/// i&(1<<j); { sw += w[j+half]; sv += v[j+half]; } } int Index = Find(0, m-1, W-sw);///找到价值最大的容量不超过W-sw； ans = max(ans, sv+a[Index].v); } printf("%I64d\n", ans); } return 0; } /* Input: 5 1 3 2 2 4 2 Output: */
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原文地址：http://www.cnblogs.com/zhengguiping--9876/p/5793824.html
