兰州大学2005年数学分析考研试题参考解答

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1( $10’$ )判断下列命题是否正确.

(1) 设数列 $\sed{x_n}$ 满足: $\dps{\forall\ p\in \bbN,\ \lim_{n\to\infty}(x_{n+p}-x_n)=0}$ . 则 $\sed{x_n}$ 收敛.

解答: 错! 比如对 $\dps{x_n=\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}}$ 有

$$\bex \lim_{n\to\infty}(x_{n+p}-x_n) =\lim_{n\to\infty}\sex{\frac{1}{n+1} +\cdots+\frac{1}{n+p}}=0,\ \forall\ p\in \bbN. \eex$$ 但 $\sed{x_n}$ 发散.

(2) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 $Riemann$ 可积, 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一定有原函数.

解答: 错! 因为任一仅具有有限多个跳跃间断点的函数 $f$ 均是 $Riemann$ 可积的, 但 $f$ 没有原函数. 这是 $Darboux$ 告诉我们的, 他说任一导函数最多只能有第二类间断点.

(3) $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导, 则 $f‘(x)$ 在 $[a,b]$ 上一定 $Riemann$ 可积.

解答: 错! 比如对于函数

$$\bex f(x)=\left\{\ba{ll} x^\alpha\sin \frac{\pi}{x^\beta},&x\in (0,1],\\ 0,&x=0, \ea\right. \eex$$ 其中 $\dps{1<\alpha<\beta+1,\ \beta/\alpha\in \bbN}$ . 容易知道 (a) $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上处处可导, 且导函数为 $$\bex f‘(x)=\left\{\ba{ll} \alpha x^{\alpha-1}\sin \frac{\pi}{x^\beta} -\beta\pi x^{\alpha-\beta-1}\cos\frac{\pi}{x^\beta},&x\neq 0,\\ 0,&x=0. \ea\right. \eex$$

(b) $f‘(x)$ 在 $[0,1]$ 上不 $Riemann$ 可积. 事实上, $f‘(x)$ 是无界的:

$$\bex \sev{f‘\sex{\frac{1}{n^{1/\alpha}}}} =\sev{\beta\pi n^{\frac{\beta+1-\alpha}{\alpha}}} \to\infty,\mbox{ as }n\to\infty. \eex$$

注记:  由 (2) 与 (3), 我们知道一个函数具有原函数与它是否可积是没有必然联系的.  

(4) 若二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微, 则 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的所有方向导数都存在.

解答: 对! 按定义,

$$\bex \n_v f =v\cdot \n f =\rd f(v),\ \forall\ v\in \bbR^2. \eex$$

(5) 积分 $\dps{\int_a^\infty f(x)\rd x}$ 收敛, $g(x)$ 在 $[a,\infty)$ 上单调有界, 则 $\dps{\int_a^\infty f(x)g(x)\rd x}$ 收敛.

解答: 对! 这就是著名的 $Abel$ 判别法, 可通过积分第二中值定理获得.

 

2 ( $5\times10‘=50‘$ )计算下列各题.

(1) $\dps{\lim_{n\to\infty}\sex{\frac{1}{n^2+n+1} +\frac{2}{n^2+n+2} +\cdots +\frac{n}{n^2+n+n}}}$ .

解答: 由

$$\bex \frac{1}{n^2+n+n}\sum_{i=1}^n i \leq \sum_{i=1}^n\frac{i}{n^2+n+i} \leq \frac{1}{n^2+n+1}\sum_{i=1}^n i \eex$$ 知原极限 $=1/2$ .

(2) $\dps{\int_0^1 \ln x \rd x}$ .

解答:

$$\bex \int_0^1 \ln x\rd x =\left.\sez{x\ln x-x}\right|^1_0 =-1. \eex$$

(3)求级数 $\dps{\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2n+1}{n}x^{2n}}$ 的收敛域与和函数.

解答: 由 $\dps{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sev{(-1)^n\frac{2n+1}{n}}}=1}$ 知原级数的收敛域为 $(-1,1)$ . 现求级数之和:

$$\bex & &\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2n+1}{n}x^{2n} =2\sum_{n=1}^\infty (-x^2)^n +\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}(-x^2)^n\\ & &=2\cdot\frac{-x^2}{1+x^2} +\int_0^{-x^2}\frac{1}{1-t}\rd t\\ &=&-\frac{2x^2}{1+x^2} -\ln (1+x^2). \eex$$

(4)计算线积分 $\dps{I=\oint\limits_C \frac{x\rd y-y\rd x}{3x^2+4y^2}}$ , 其中 $C$ 为椭圆 $2x^2+3y^2=1$ , 沿逆时针方向.

解答:

$$\bex I&=&\oint\limits_{3x^2+4y^2=\ve^2} \frac{x\rd y-y\rd x}{3x^2+4y^2} =\int_0^{2\pi}\frac{1}{2\sqrt{3}}d\theta =\frac{\sqrt{3}}{3}\pi. \eex$$

(5)求 $\dps{\iint\limits_\varSigma x\rd y\rd z+y\rd z\rd x+z\rd x\rd y}$ , 其中 $\varSigma$ 是 $yoz$ 平面中曲线 $y=z^2$ 绕 $y$ 轴所生成的旋转曲面在 $0\leq y\leq 1$ 的部分, 取外侧.

解答:

$$\bex \mbox{原曲面积分} &=&3\iiint\limits_{int\ \varSigma\cap \sed{y\leq 1}} \rd x\rd y\rd z -\iint\limits_{x^2+z^2\leq 1}\rd z\rd x\\ &=&3\cdot\int_0^1 \pi y\rd y -\pi =\frac{\pi}{2}. \eex$$

 

3 ( $15‘$ ) 叙述函数列 $\sed{f_n(x)}$ 不一致收敛到函数 $f(x)$ 的分析定义, 并用定义证明 $f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上不一致收敛.

证明:

(1) $f_n(x)\not \rightrightarrows f(x)$ 等价于

$$\bex \exists\ \ve_0>0,\ \forall\ n\in \bbN,\ \exists\ x_n,\ s.t.\ \sev{f_n(x_n)-f(x_n)}\geq \ve_0. \eex$$

(2) $f_n(x)=x^n\not\rightrightarrows f(x)\equiv \left\{\ba{ll} 0,&0\leq x<1\\ 1,&x=1 \ea\right.$ 于 $[0,1]$ 上. 事实上,

$$\bex \sev{f_n\sex{1-\frac{1}{n}} -f\sex{1-\frac{1}{n}}} =\sex{1-\frac{1}{n}}^n \to e^{-1},\mbox{ as }n\to\infty. \eex$$

 

4 ( $15‘$ ) 设 $f(x)$ 在 $[a,\infty)$ 上一致收敛, $\varphi(x)$ 在 $[a,\infty)$ 上连续, $\dps{\lim_{x\to\infty}\sez{f(x)-\varphi(x)}=0}$ . 证明: $\varphi(x)$ 在 $[a,\infty)$ 上一致收敛.

证明: 由 $\dps{\lim_{x\to\infty}\sez{f(x)-\varphi(x)}=0}$ 知

$$\bex \forall\ \ve>0, \exists\ X>a+1,\ s.t.\ x\geq X\ra \sev{f(x)-\varphi(x)}<\frac{\ve}{6}. \eex$$ 又 $f$ 在 $[X,\infty)$ 上一致连续, $$\bex & &\exists\ \delta_1>0,\ s.t.\ x‘,x‘‘\in [X,\infty):\ \sev{x‘-x‘‘}<\delta \ra \sev{f(x‘)-f(x‘‘)}<\frac{\ve}{6}\\ & &\ra\sev{\varphi(x‘)-\varphi(x‘‘)} \leq \sev{\varphi(x‘)-f(x‘)} +\sev{f(x‘)-f(x‘‘)} +\sev{f(x‘‘)-\varphi(x‘‘)} <\frac{\ve}{2}. \eex$$ 现 $\varphi$ 在 $[a,X]$ 上连续, 而一致连续: $$\bex \exists\ \delta_2>0,\ s.t.\ x‘,x‘‘\in [a,X]:\ \sev{x‘-x‘‘}<\delta_2\ra \sev{\varphi(x‘)-\varphi(x‘‘)}<\frac{\ve}{2}. \eex$$ 若取 $\delta=\min\sed{1,\delta_1,\delta_2}>0$ , 则 $$\bex x‘,x‘‘\in [a,\infty):\ \sev{x‘-x‘‘}<\delta\ra \sev{\varphi(x‘)-\varphi(x‘‘)}<\ve. \eex$$

 

5 ( $15‘$ ) 设平面 $x+y+z=3$ 截三轴于 $A,B,C$ 三点, $O$ 为坐标原点, $P(x,y,z)$ 为三角形 $ABC$ 上一点, 以 $OP$ 为对角线, 三坐标轴为三面作一长方体. 试求其最大体积.

解答: 所求体积

$$\bex V=x\cdot y\cdot(3-x-y) \leq 1, \eex$$ 且等号成立当且仅当 $P$ 为 $(1,1,1)$ 时.

 

6 ( $15‘$ )设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续可导函数. 记 $f^{-1}(0)=\sed{x\in [a,b];\ f(0)=0}$ . 假设 $f^{-1}(0)\neq \emptyset$ , 且对 $x\in f^{-1}(0)$ , 成立 $f‘(x)\neq 0$ . 证明:

(1) $f^{-1}(0)$ 是有限集.

(2) $f^{-1}(0)$ 中使 $f‘(x)>0$ 的点点个数和使 $f‘(x)<0$ 的点的个数最多相差 $1$ , 即成立

$$\bex \sev{\sum_{x\in f^{-1}(0)}sgn\ f‘(x)}\leq 1. \eex$$

证明:

(1)用反证法. 若 $f^{-1}(0)$ 无限, 则 $Weierstrass$ 告诉我们

$$\bex \exists\ x_n\in f^{-1}(0):\ x_n\neq x_m\ (n\neq m),\ x_n\to x_0\in [a,b]. \eex$$ 于是 $$\bex f(x_0)=0,\ f‘(x_0)=\lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0} =0. \eex$$ 这与假设矛盾, 故有结论.

(2)由 (1), 不妨设

$$\bex f^{-1}(0)=\sed{x_1,\cdots,x_m}, \eex$$ 其中 $x_i<x_{i+1},\ i=1,2,\cdots,m-1$ . 易知 $f‘(x_i)\cdot f‘(x_{i+1})<0$ (否则由连续函数的介值定理知 $(x_i,x_{i+1})$ 内仍有 $f$ 之零点). 于是当 $i$ 从 $1$ 到 $m$ 时, $sgn\ f‘(x_i)$ 交替为 $1$ 或 $-1$ , 即有 $$\bex \sev{\sum_{x\in f^{-1}(0)}sgn\ f‘(x)}\leq 1. \eex$$

 

7 ( $30‘$ )

(1)解常微分方程 $y\rd x+(x^2y-x)\rd y=0$ .

(2)一致函数 $y(x)$ 二次可导且满足

$$\bex y(x)=e^{2x}+\int_0^x (x-t)y(t)\rd t. \eex$$ 求 $y(x)$ .

解答:

(1)

$$\bex y\rd x-x\rd y+x^y\rd y=0, \eex$$ $$\bex -y\rd \frac{1}{x}-\frac{1}{x}\rd y +y\rd y=0, \eex$$ $$\bex -\rd \frac{y}{x} +\rd \frac{y^2}{2} =0, \eex$$ $$\bex -\frac{y}{x}+\frac{y^2}{2}=C. \eex$$

(2)

$$\bex \left\{\ba{ll} y(x)=e^{2x}+\int_0^x(x-t)y(t)\rd t,&y(0)=1;\\ y‘(x)=2e^{2x}+\int_0^xy(t)\rd t,&y‘(0)=2; \ea\right. \eex$$ $$\bee\label{lz05sf_7:eq} y‘‘(x)=4e^{2x}+y(x). \eee$$ 由

(a) $y‘‘(x)=y(x)$ 的通解为

$$\bex y(x)=c_1e^x+c_2e^{-x}; \eex$$

(b) $y‘‘(x)=4e^{2x}+y(x)$ 的一特解为

$$\bex y(x)=\frac{4}{3}e^{2x}; \eex$$ 知 $\eqref{lz05sf_7:eq}$ 的通解为 $$\bex y(x)=c_1e^x+c_2e^{-x}+\frac{4}{3}e^{2x}. \eex$$ 又由 $y(0)=1$ , $y‘(0)=2$ 知 $$\bex y(x)=-\frac{1}{2}e^x +\frac{1}{6}e^{-x} +\frac{4}{3}e^{2x}. \eex$$  

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