对于中国剩余定理(CRT)的初步理解

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以前觉得用中国剩余定理来求同余方程组很鸡肋，因为可以用拓展欧几里得算法来构造出一种更加强大(可以处理取模的数(默认为mi)不互质的情况)的算法。

今天查了点资料，发现我太天真了。

首先讲讲中国剩余定理：

即 ： x ≡ a[i] (mod m[i]) 1<= i <= r (m[i] 两两互质)

求这个同余方程组可以快速算：

x = ∑M/m[i] * Inv(M/m[i], m[i]) * a[i] (mod M) 其中M = m[1]*m[2]*m[3]...m[r]  , Inv(x, y) 表示x在模y下的逆元

讲讲我对这个方程的理解:

1) 因为m[i]是两两互质的，所以gcd(M/m[i], m[i]) == 1,也就是说逆元一定存在，所以这个方程一定有解(对m[i]两两不一定互质的情况要小心解不存在的情况，即逆元不存在)。

2) 然后，为什么这个解就一定是这个同余方程组的解呢？是这样的，首先M/m[i] 对于除了m[i]外其他的m[k]的话都是能够被整除的，而M/m[i] * Inv(M/m[i], m[i])*a[i]这一部分对m[i]取模肯定是a[i]，因为M/m[i] * Inv(M/m[i], m[i]) ≡ 1(mod m[i]),所以∑M/m[i] * Inv(M/m[i], m[i]) * a[i]肯定是满足要求的一个解。

3) 代码实现

 1 typedef long long lld;
 2 lld exgcd(lld a, lld b, lld &x, lld &y) {
 3     if (!b) {
 4         x = 1; y = 0;
 5         return a;
 6     }
 7     lld ret = exgcd(b, a % b, y, x);
 8     y -= (a/b) * x;
 9     return ret;
10 }
11 lld Inv(lld a, lld MOD) {
12     lld x, y;
13     lld d = exgcd(a, MOD, x, y);
14     return d == 1 ? (x%MOD+MOD)%MOD : printf("no~\n");
15 }
16 lld China(int a[], int n, int m[]) {
17     lld M = 1, ret = 0;
18     for (int i = 1; i <= n; i++) M *= m[i];
19     for (int i = 1; i <= n; i++) {
20         lld w = M/m[i];
21         ret = (ret + w * Inv(w, m[i])% M * a[i] % M) % M;
22     }
23     return ret;
24 }

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独立剩余：

其实上面的内容就是我觉得“鸡肋”的地方，恩，有关独立剩余才是真正的体现CRT用处的地方，由于我自己现在还只是初步的了解，所以有可能出错，敬请原谅。

同余式: Res(x) = (x mod m[1], ..., x mod m[r]), 且m[i]两两互质 对于一个大于1的数x，我们都可以表示 x = ∏p[i] ^ {k[i]} k[i] >= 1，所以很多地方一个数你可以拆成多个不同的素数的积，这样两两互质这一条件一定成立。

然后同余式有个规则(?)就是我们可以在每一个分量上进行独立的执行加法，减法和乘法。 这是一个很赞的地方，比如对于一个M = 30 , 我们可以对于2、3、5分别进行模运算，最通过"某种方法“还原成对于30的模运算结果，这往往可以获得意想不到的效果(虽然我还没做过类似的题目= =)

哦，所谓的”某种方法“就是中国剩余定理，我们可以类似的向量般的处理(1, 0, 0) = a, (0, 1, 0) = b, (0, 0, 1) = c对于M = 30我们可以把它看做一个三维向量，那么(x, y, z) = (a*x+b*y+c*z) mod 30

现在我们需要的是计算出a、b、c的值，当然如果M比较小的话，你可以暴力去找，复杂度O(M)，M较大的时候就可以套中国剩余定理了，不过不用∑，也就是M/m[i] * Inv(M/m[i], m[i]) * a[i]， 这么一项就行了，(其实只要算一个拓展欧几里得的就行了，只是样子有点象CRT而已 = =) 

好吧，暂时理解就到这了(写这个主要还是加深印象)= =，继续看书... 未完待续....勿喷....

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对于中国剩余定理(CRT)的初步理解

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原文地址：http://www.cnblogs.com/danceonly/p/3901595.html