【学习整理】NOIP涉及的数论 [updating]

时间：2016-08-31 21:56:24 阅读：195 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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扩展欧几里得

求二元一次不定式方程 $技术分享$ 的一组解。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 
{
    int t;
    if(!b) {x=1;y=0;return a;}
    t=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    return t;
}

线性筛质数

维护一个质数表。对于每个数 $技术分享$ ，从小到大枚举所有质数 $技术分享$ ，将 $技术分享$ 打上标记。如果 $技术分享$ ，停止枚举。

void getprime()
{       
    int i,j;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {              
        if(!b[i]) prime[++tot]=i;  
        for(j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            b[i*prime[j]]=true;  
            if(!i%prime[j]) break;
        }
    }
}

线性求逆元

逆元的定义： $技术分享$ 称x是a在模b意义下的逆元，可理解为 $技术分享$ 。

给定一个质数 $技术分享$ ，求出 $技术分享$ 至 $技术分享$ 的逆元。

$技术分享$

证明：

$技术分享$

费马小定理

若 $技术分享$ 是质数，则 $技术分享$

证明：

因为 $技术分享$ ，所以 $技术分享$ .

$技术分享$

线性求欧拉函数

欧拉函数 $技术分享$ 的定义：小于等于 $技术分享$ 的正整数中与 $技术分享$ 互质的数的个数。

$技术分享$

设 $技术分享$ 为 $技术分享$ 最小的质数， $技术分享$ 。在线性筛中， $技术分享$ 被筛 $技术分享$ 掉。

当 $技术分享$ 时， $技术分享$ 。

void getphi()  
{  
    int i,j;  
    phi[1]=1;  
    for(i=2;i<=n;i++)
    {  
       if(!b[i])  
       {  
           prime[++tot]=i; 
           phi[i]=i-1;
       }  
       for(j=1;j<=tot;j++)  
       {  
           if(i*prime[j]>n)  break;  
           b[i*prime[j]]=true; 
           if(i%prime[j]==0)
           {  
               phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
               break;  
            }  
            else  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
       }  
     }  
}

欧拉定理

若 $技术分享$ ，则 $技术分享$ 。

证明：

记 $技术分享$ , 记 $技术分享$ 为 $技术分享$ 到 $技术分享$ 中与 $技术分享$ 互质的数。

$技术分享$

由消去律得 $技术分享$

Miller-Rabin算法素数测试

记 $技术分享$

在 $技术分享$ 中随机选取一个整数 $技术分享$ ，如果 $技术分享$ 或 $技术分享$ , 那么我们认为n是质数。

错误率不超过1/4，重复若干次即可。

long long mod_mul(long long,long long,long long);
long long mod_exp(long long,long long,long long); 
bool miller_rabbin(long long n)  
{  
    int i,j,t;
    long long a,x,y,u;
    if(n==2)return true;  
    if(n<2||!(n&1)) return false;  
    t=0;u=n-1;  
    while((u&1)==0) t++,u>>=1;  
    for(i=1;i<=tim;i++)  
    {  
        a=rand()%(n-1)+1;  
        x=mod_exp(a,u,n);  
        for(j=0;j<t;j++)  
        {  
            y=mod_mul(x,x,n);  
            if(y==1&&x!=1&&x!=n-1) return false;  
             x=y;  
        }  
        if(x!=1) return false;  
    }  
    return true;  
} 
long long mod_mul(long long a,long long b,long long mod) 
{
    long long res=0;
    while(b) 
    {
        if(b&1) res=(res+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
long long mod_exp(long long a,long long b,long long mod) 
{
    long long res=1;
    while(b) 
    {
        if(b&1) res=mod_mul(res,a,mod);
        a=mod_mul(a,a,mod);
        b>>=1;
    }
    return res;
}