分治法的理解

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1. 什么是分治法？

   分治法的基本思想是将一个难以直接解决的大问题，分解成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

2. 何时能，何时用分治法来解决这些问题比较好呢？

   这些问题应当具备这几个特征：

   （1）问题的规模缩小到一定程度就可以容易的解决了。

   （2）问题可以分解为若干个规模较小的相同子问题。

   （3）问题所分解成各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

   （4）问题分解出的子问题的解可以合并为原问题的解。

   上述的第一条特征是绝大多数问题可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增大而增加；第二条特征是引用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征涉及分治法的效率，涉及许多不必要的工作-重复求解公共的子问题，第四条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第四条特征。

3. 分治法的基本步骤：

   divide-and-conquer(P)

    {

   if ( | P | <= n0) adhoc(P);   //解决小规模的问题

      divide P into smaller subinstances P1,P2,...,Pk；//分解问题

     for (i=1,i<=k,i++)

      yi=divide-and-conquer(Pi);  //递归的解各子问题

   return merge(y1,...,yk);  //将各子问题的解合并为原问题的解

          }

        如果问题足够小能够直接解决，则解决，如果不能够在进行分治。

4.分治法与递归，分治法与循环

分治法是一种思想，递归和循环都只不过是一种手段，来帮助问题来进行分治。

示例如下：

（1）二分查找算法的非递归形式

 int NBinarySearch(int n,int s[n],int x)

{

int low=0,high=n-1;

//通过循环手段来进行分治

while(low<=high)

{

int middle=(low+high)/2;

if(x==s[middle]) return middle;

else if(x>s[middle]) low=middle+1;

else high=middle-1;

}

}

(2)二分查找算法的递归形式

int BinarySearch(int s[n],int x,int low,int high)

{

if(low>high) return -1;

int middle=(low+high)/2;

if(x==s[middle]) return middle;

else if(x>middle) return BinarySearch(s,x,middle,high)

else return BinarySearch(s,x,low,middle-1);

}

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