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11542 Square
Given n integers you can generate 2n??1 non-empty subsets from them. Determine for how many of these
subsets the product of all the integers in that is a perfect square. For example for the set f4,6,10,15g
there are 3 such subsets. f4g, f6,10,15g and f4,6,10,15g. A perfect square is an integer whose square
root is an integer. For example 1, 4, 9, 16, . . . .
Input
Input contains multiple test cases. First line of the input contains T (1 T 30) the number of test
cases. Each test case consists of 2 lines. First line contains n (1 n 100) and second line contains n
space separated integers. All these integers are between 1 and 1015. None of these integers is divisible
by a prime greater than 500.
Output
For each test case output is a single line containing one integer denoting the number of non-empty
subsets whose integer product is a perfect square. The input will be such that the result will always t
into signed 64 bit integer.
Sample Input
4
3
2 3 5
3
6 10 15
4
4 6 10 15
3
2 2 2
Sample Output
0
1
3
3
题意：
给出n个整数，从中选出1个或者多个，使得选出的整数乘积是完全平方数，一共有多少种选法。该题输入的数的素因子都不超过500。
分析：
注意到“不含大于500的素因子”这一条件，我们将考虑每一个数的唯一分解式，并将其表示为01向量。具体来说，考虑一个矩阵，其中的元素(i,j)=1/0（i行j列）表示对于第j个整数，它第i个素因子的幂次是奇数/偶数。于是输入的n个数就可以被表示成这样一个m行n列的0/1矩阵。设这个矩阵是A。设一个解向量（列向量）X=(x1,x2,x3,…,xn)(xi = 1或者0,i = 1,2,…,n)。解向量的分量xi = 1表示要选取第i个数，反之不选。于是，选取一些数的乘积是完全平方数等价于AX=0(mod 2)。在mod 2的情况下为A的增广矩阵消元是容易的，这是因为，不需要做乘法和除法，每次只需要做的就是异或，每次也不需要找到绝对值最大的系数ari，任意一个ari = 1即可实现消元。
最后，假设消元后发现自由变元有f个，则线性方程的解一共有2^f。注意本题不能一个数都不选，所以，最终的答案需要减去1。即答案是2^f-1。f的值可以通过求系数矩阵的秩求得。
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <cmath> 4 #include <algorithm> 5 #include <iostream> 6 using namespace std; 7 const int maxn = 500; 8 const int maxp = 100; 9 const int MOD = 1e9; 10 typedef long long LL; 11 int vis[maxn + 1]; //vis[i] = 1是合数、vis[i] = 0是素数或者1 12 int prime[maxp + 1]; 13 // 筛素数 14 void sieve(int n){ 15 int m = (int)sqrt(n + 0.5); // 避免浮点误差 16 memset(vis,0,sizeof vis); 17 for(int i = 2 ; i <= m ; i++) if(!vis[i]) 18 for(int j = i * i ; j <= n ; j += i) vis[j] = 1; 19 } 20 // 生成素数表，放在prime数组中，返回素数的个数 21 int gen_primes(int n){ 22 sieve(n); 23 int c = 0; 24 for(int i = 2 ; i <= n ; i++)if(!vis[i]) 25 prime[c++] = i; 26 return c; 27 } 28 typedef int Matrix[maxn + 1][maxn + 1]; 29 // 一共m个方程，n个变量 30 int _rank(Matrix A,int m,int n){ // m行n列的01矩阵求秩，同时消元 31 int i = 0,j = 0,k,r,u; 32 while(i < m && j < n){ // 当前正在处理第i个方程、第j个变量 33 r = i; 34 for(k = i ; k < m ; k++)if(A[k][j]){ 35 r = k; 36 break; 37 } 38 if(A[r][j]){ 39 if(r != i)for(k = 0 ; k <= n ; k++)swap(A[r][k],A[i][k]); 40 // 消元后第i行第一个非零列是第j列，且u>i行的第j列均为0 41 for(u = i + 1 ; u < m ; u++) if(A[u][j]) 42 for(k = i ; k <= n ; k++) A[u][k] ^= A[i][k]; 43 i++; 44 } 45 j++; 46 } 47 return i; 48 } 49 Matrix A; 50 int main(){ 51 int m = gen_primes(maxn); 52 int T; scanf("%d",&T); 53 while(T--){ 54 int n,_maxp = 0; scanf("%d",&n); 55 long long x; 56 memset(A,0,sizeof A); 57 for(int i = 0 ; i < n ; i++){ 58 scanf("%lld",&x); 59 for(int j = 0 ; j < m ; j++) 60 while(x % prime[j] == 0){ 61 _maxp = max(_maxp,j); 62 x /= prime[j]; 63 A[j][i] ^= 1; 64 } 65 } 66 int r = _rank(A,_maxp + 1,n); // 只用到了前_maxp+1个素数 67 printf("%lld\n",(1LL << (n - r)) - 1); // 空集不是解所以减1 68 } 69 return 0; 70 }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/cyb123456/p/5831673.html
