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定义

树的定义有两种：

　　1.是基于图论的定义；

　　2.是基于递归和节点的定义；

1.基于图论的定义：

如果一个无向简单图G 满足以下相互等价的条件之一，那么G 是一棵树：

• G 是没有回路的连通图。
• G 没有回路，但是在G内添加任意一条边，就会形成一个回路。
• G 是连通的，但是如果去掉任意一条边，就不再连通。
• G 是连通的，并且3顶点的完全图 {\displaystyle K_{3}} 不是G的子图。
• G内的任意两个顶点能被唯一路径所连通。

如果无向简单图G有有限个顶点（设为n个顶点），那么G 是一棵树还等价于：

• G是连通的，有n − 1条边，并且G没有简单回路。

如果一个无向简单图G中没有简单回路，那么G是森林。

2.基于节点和递归的定义：

树（Tree）是n（n≥0）个有限数据元素的集合。当n＝0 时，称这棵树为空树。在一棵非树T 中：
（1）有一个特殊的数据元素称为树的根结点，根结点没有前驱结点。
（2）若n>1，除根结点之外的其余数据元素被分成m（m>0）个互不相交的集合T1，T2，…，Tm，其中每一个集合Ti（1≤i≤m）本身又是一棵树。树T1，T2，…，Tm 称为这个根结点的子树。

可以看出，在树的定义中用了递归概念，即用树来定义树。因此，树结构的算法类同于二叉树结构的算法，也可以使用递归方法。

树的定义还可形式化的描述为二元组的形式：

其中D 为树T 中结点的集合，R 为树中结点之间关系的集合。

当树为空树时，D＝Φ；当树T 不为空树时有：

其中，Root 为树T 的根结点，DF 为树T 的根Root 的子树集合。DF 可由下式表示：

当树T 中结点个数n≤1 时，R＝Φ；当树T 中结点个数n>1 时有：

其中，Root 为树T 的根结点，ri 是树T 的根结点Root 的子树Ti 的根结点。

树定义的形式化，主要用于树的理论描述。图7.1(a)是一棵具有9 个结点的树，即T＝{A，B，C，…，H，I}，结点A 为树T 的根结点，除根结点A 之外的其余结点分为两个不相交的集合： T1＝{B,D,E,F,H,I}和T2={C,G}，T1 和T2 构成了结点A 的两棵子树，T1 和T2 本身也分别是一棵树。例如，子树T1 的根结点为B，其余结点又分为两个不相交的集合：T11＝{D}，T12＝{E,H,I}和T13＝{F}。

T11、T12 和T13 构成了子树T1 的根结点B 的三棵子树。如此可继续向下分为更小的子树，直到每棵子树只有一个根结点为止。

从树的定义和图7.1(a)的示例可以看出，树具有下面两个特点：
（1）树的根结点没有前驱结点，除根结点之外的所有结点有且只有一个前驱结点。
（2）树中所有结点可以有零个或多个后继结点。

由此特点可知，图7.1(b)、(c)、(d)所示的都不是树结构。

几种重要的树结构

树的常用操作

树的应用

参考链接：

http://c.biancheng.net/cpp/html/985.html

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%91_(%E5%9B%BE%E8%AE%BA)

http://philoscience.iteye.com/blog/1112759

数据结构-树

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原文地址：http://www.cnblogs.com/x739400043/p/5846673.html